\def\leaderfill{\leaders\hbox to 1em{\hss.\hss}\hfill}
\null
\null
\magnification=\magstep2
\hsize=13.9truecm
\vsize=20truecm
\voffset=0\baselineskip
\par
\noindent
\tolerance=10000
\baselineskip=23pt
 
\def\a{\alpha}
\def\b{\beta}
\def\B{\bar}
\def\C{{\cal C}}
\def\d{\partial}
\def\de{\delta}
\def\D{{\~D}}
\def\e{\epsilon}
\def\E{{\cal E}}
\def\f{\varphi}
\def\g{\gamma}
\def\G{\Gamma}
\def\GG{{\bf G}}
\def\I{\vert^{}_{\,\L}}
\def\L{\Lambda}
\def\M{{\cal M}}
\def\m{\mu}
\def\n{\nu}
\def\na{\nabla}
\def\o{\omega}
\def\O{\Omega}
\def\p{\psi}
\def\P{\phi}
\def\r{\rho}
\def\s{\sigma}
\def\x{\xi}
\def\X{\~\xi}
\def\~{\tilde}
 
\hyphenation {szim-met-ri-kus-nak Einstein}
 
\centerline{\bf Fodor Gyula}
\vskip 2.4cm
 
\centerline{\bf FORG\'OTESTEK NYOMAT\'EKAI AZ \'ALTAL\'ANOS}
\centerline{\bf RELATIVIT\'ASELM\'ELETBEN}
\vskip 1.8cm
 
\centerline{\bf Diplomamunka}
\centerline{\bf Budapest, 1989}
 
\vskip 1cm
\centerline{\bf T\'emavezet\H{o}: Perj\'es Zolt\'an}
 
\vfill\eject
 
\def\leaderfill{\leaders\hbox to 1em{\hss.\hss}\hfill}
{\bf TARTALOMJEGYZ\'EK}\par
\vskip .8cm
\line{1. Bevezet\'es \leaderfill 3}
\line{2. Momentumok a newtoni gravit\'aci\'oelm\'eletben \leaderfill 5}
\line{3. H\'aromdimenzi\'os t\'er defini\'al\'asa \leaderfill 10}
\line{4. Aszimptotikusan s\'{\i}k terek \leaderfill 14}
\line{5. A momentumok defin\'{\i}ci\'oja  \leaderfill 15}
\line{6. $\O$ jelent\'es\'enek vizsg\'alata \leaderfill 17}
\line{7. $\P$ megv\'alaszt\'asa \leaderfill 19}
\line{8. A t\'eregyenletek \leaderfill 21}
\line{9. Tengelszimmetrikus t\'er momentumai \leaderfill 23}
\line{10. Konform transzform\'aci\'o \leaderfill 25}
\line{11. Sorfejt\'esi egy\"utthat\'ok \leaderfill 27}
\line{12. Spurtalan\'{\i}t\'as \leaderfill 29}
\line{13. Szimmetrikus tenzorok \leaderfill 30}
\line{14. Olyan tenzorok bevezet\'ese, amelyeknek a h\'armas index\H{u}\hfill}
\line{\ \ \ \ \ \  komponenseik null\'ak \leaderfill 32}
\line{15. A spurtalan\'{\i}t\'as elv\'egz\'ese \leaderfill 36}
\line{16. Az algoritmus \"osszefoglal\'asa \leaderfill 37}
\line{17. A sz\'amol\'as elv\'egz\'ese \leaderfill 38}
\line{18. A momentumok transzform\'aci\'oja \leaderfill 45}
\vfill\eject
 
 
{\bf 1. BEVEZET\'ES}\par
\vskip 0.7cm
 
  A dolgozat c\'elja egy forg\'o test \'altal a k\"ornyez\H{o} v\'akuumban
l\'etrehozott, stacion\'arius \'es tengelyszimmetrikus gravit\'aci\'os
t\'er momentumainak a vizs\-g\'alata.
Lehet-e multip\'olusmomentumokat defini\'alni g\"orb\"ult t\'erid\H{o}ben?
A new\-toni gravit\'aci\'oelm\'eletben a multip\'olusmomentumokat a gravit\'aci\'os
potenci\'al multip\'olustagok \"osszeg\'ere bont\'as\'aval kaphatjuk.
A momentumok ilyen form\'aban fel\'{\i}rt defin\'{\i}ci\'oj\'anak az \'altal\'anos\'{\i}t\'asa
g\"orb\"ult t\'erid\H{o}re neh\'ezs\'egekbe \"utk\"ozik, mivel az Einstein-egyenletek nem
line\'arisak. Ez\'ert az els\H{o} fejezetben olyan alakba \'{\i}rjuk a newtoni
gravit\'aci\'oelm\'eletbeli momentumok defin\'{\i}ci\'oj\'at, amely k\"onnyebben
\'altal\'anos\'{\i}that\'o g\"orb\"ult t\'erid\H{o}re. A k\'es\"obbi fejezetekben megvizsg\'aljuk
Geroch [1] \'es Hansen [2] defin\'{\i}ci\'oj\'at stacion\'arius terek momentumaira.
Ezt k\"ovet\H{o}en lesz\H{u}k\'{\i}tj\"uk a t\'argyal\'ast tengelyszimmetrikus
t\'erid\H{o}kre. Ebben az esetben, ha a newtoni potenci\'al g\"orb\"ult t\'erre
val\'o \'altal\'anos\'{\i}t\'asa a szimmetriatengelyen adott, ak\-kor a t\'eregyenlet az
\'ert\'ek\'et az eg\'esz t\'erben meghat\'arozza, ez\'ert ekkor kifejezhetj\"uk a
momentumokat a potenci\'al tengelyen val\'o sorfejt\'es\'enek egy\"utthat\'oival.
Hoenselaers [3] ilyen m\'odon kisz\'amolta a momentumokat a hetedik rendig.
Siker\"ult egy hat\'ekony algoritmust k\'esz\'{\i}tenem, amelynek seg\'{\i}ts\'eg\'evel
ki tudtam fejezni a momentumokat a sorfejt\'esi egy\"utthat\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a tizenkettedik rendig.
\vfill\eject
 
   Mi\'ert \'erdemes multip\'olusmomentumokkal foglalkozni az \'al\-ta\-l\'a\-nos
re\-la\-ti\-vi\-t\'as\-el\-m\'e\-let\-ben ?  A momentumok egyik legfontosabb
alkalmaz\'asa az,
hogy seg\'{\i}tenek a t\'eregyenlet megold\'asainak fizikai interpret\'aci\'oj\'aban.
Gyak\-ran prob\-l\'em\'at jelent ugyanis, hogy mi egy valamilyen
koordin\'atarendszerben a metrikus tenzorral megadott megold\'as fizikai
jelent\'ese. A momentumok az\'ert seg\'{\i}thetnek, mert (I) defin\'{\i}ci\'ojuk
koordin\'atarendszert\H{o}l f\"uggetlen, valamint (II) Beig \'es Simon [4]
bebizony\'{\i}tott\'ak, hogy a momentumok egy adott rendszere,
konvergenciaprobl\'em\'akt\'ol eltekintve,  egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza a t\'erid\H{o}t a forg\'o test egy k\"ornyezet\'en kiv\"ul, \'es (III)
aszimptotikusan s\'{\i}k t\'erid\H{o}h\"oz egy\'ertelm\H{u}en tartozik a momentumok egy
rendszere.
\'Igy egy t\'erid\H{o}t a vele azonos multip\'olusmomentumokkal rendelkez\H{o}
newtoni gravit\'aci\'os t\'er relativisztikus p\'arj\'anak tekinthet\"unk.
Azt, hogy a momentumok \'esszer\H{u}en vannak defini\'alva, \'es hogy sok
esetben egyszer\H{u}s\'{\i}t\'est jelentenek a t\'er le\'{\i}r\'as\'ara, jelzi, hogy a
Schwarzschild-t\'erid\H{o}nek csak a nulladik momentuma nem t\H{u}nik el.
 
  A momentumokat a t\'eregyenlet megold\'asainak oszt\'alyoz\'as\'an k\'{\i}v\"ul m\'eg
felhaszn\'alhatjuk \'uj, fizikailag \'erdekes egzakt megold\'asok keres\'es\'ere,
\'es a j\"ov\H{o}ben eset\-leg az elektrodinamik\'ahoz hasonl\'oan sug\'arz\'asi
jelens\'egek tanulm\'anyoz\'as\'ara is.
 
\vfill\eject
{\bf 2. MOMENTUMOK A NEWTONI}\par
{\bf GRAVIT\'ACI\'OELM\'ELETBEN}\par
\vskip 1cm
 
   Jel\"olje $x^a$ a koordin\'at\'akat egy Descartes-f\'ele
koordin\'atarendszerben, \'es legyen $r^2=x^a x_a $ az orig\'ot\'ol val\'o
t\'avols\'ag n\'egyzete. A $\P$ gravit\'aci\'os potenci\'al a $\Delta \P = 0$
egyenletnek tesz eleget. V\'eges t\'err\'eszben elhelyezked\H{o} v\'eges
t\"omegek eset\'en $\P$ a v\'egtelenben $ {1\over r}$-n\'el nem tart
lassabban null\'ahoz, \'{\i}gy az al\'abbi m\'odon kifejthet\H{o}~:
 $$ \P = {1\over r} Q + {1\over r^3} Q_a x^a +
 {1\over 2r^5} Q_{ac} x^a x^c + ... +
 {1\over n!r^{2n+1}} Q_{a_1...a_n} x^{a_1} ... x^{a_n} + ... ,
                                                   \eqno(2.1) $$
ahol a $Q_{a_1...a_n}$ szimmetrikus \'es spurmentes tenzorok a
rendszer adott koordin\'atarendszerhez tartoz\'o multip\'olusmomentumai.
$Q_{a_1...a_n}$ az\'ert v\'a\-laszthat\'o szimmetrikusnak, mert
$x^{a_1} ... x^{a_n}$ szimmetrikus. A spurtalans\'ag a $\Delta \P = 0$
felt\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik, ugyanis
  $$\Delta \P = h^{ac} \d_a\d_c\P = \sum ^{\infty}_{n=2}
   {1\over (n-2)!r^{2n+1}} Q_{a_1...a_n} h^{a_1a_2}
   x^{a_3} ... x^{a_n}  ,                            \eqno(2.2) $$
ami csak akkor lehet nulla, ha az \"osszes $Q_{a_1...a_n}$ tenzor
spurtalan.
Rendelj\"uk a t\'er minden pontj\'ahoz a momentumokat egy ottani k\"oz\'eppont\'u
koordin\'atarendszerb\H{o}l sz\'amolva. Ekkor helyt\H{o}l f\"ugg\H{o}
tenzormez\H{o}ket kapunk.
 
  A momentumok -- ha a kifejt\'esben szerepl\H{o} \"osszeg konvergens --
egy\-\'ertelm\H{u}en meghat\'arozz\'ak a gravit\'aci\'os potenci\'alt, \'es egy
v\'egtelenben j\'ol viselked\H{o} potenci\'al egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a
momentumtenzorokat. Ez a tulajdons\'ag a g\"orb\"ult t\'erre val\'o \'altal\'anos\'{\i}t\'as
ut\'an is igaz marad, de az Einstein-egyenletek nemline\'aris jellege
miatt a bizony\'{\i}t\'as nem nyilv\'anval\'o.
 
  \'Atalak\'{\i}tjuk a momentumok defin\'{\i}ci\'oj\'at egy olyan alakra, ami
al\-kal\-masabb a g\"orb\"ult t\'erre val\'o \'altal\'anos\'{\i}t\'asra. Vezess\"unk be egy
``kiford\'{\i}tott'' ko\-or\-di\-n\'a\-tarendszert. Legyen
$\B x^a = r^{-2}x^a.$
Ebben a koordin\'atarendszerben a t\'erbeli v\'egtelennek egyetlen pont,
az $\B x^a = 0$ orig\'o felel meg, jel\"olj\"uk ezt a pontot $\L$-val.
$\P$ a $\L$ pontban nem \'ertelmezett, de folytonosan kiterjesztve
$\P\I=0.$ Defini\'alhatunk egy konform transzform\'alt potenci\'alt, amely
kiteresztve m\'ar nem felt\'etlen\"ul nulla a $\L$ pontban.
Legyen $\~\P = \O^{-1/2} \P,$ ahol $\O=r^{-2}.$
Mivel $x^a=r^2\B x^a ,$
a (2.1) \"osszef\"ugg\'esb\H{o}l kaphatjuk, hogy~:
 $$ \~\P = Q + Q_a \B x^a + {1\over 2} Q_{ac} \B x^a \B x^c + ... +
 {1\over n!} Q_{a_1...a_n} \B x^{a_1} ... \B x^{a_n} + ... .
                                                   \eqno(2.3) $$
 
Ekkor~:
$$\eqalign{
  Q &= \~\P\I  \cr
  Q_a & = {\d\over \d \B x^a} \~\P\I \cr
  & \vdots  \cr
  Q_{a_1...a_n} & ={\d\over \d \B x^{a_1}} ... {\d\over \d \B x^{a_n}}
     \~\P\I     .          }                              \eqno(2.4) $$
Az \'uj koordin\'atarendszerben a parci\'alis deriv\'altak m\'ar nem azonosak a
kovari\'ans deriv\'altakkal, mert a metrikus tenzor a k\"ovetkez\H{o}
alak\'u lesz~:
  $$ h_{\B a\B c}={1\over\B r^4} \left(\matrix{1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1}
  \right),                                               \eqno(2.5)$$
ahol $\B r=\B x^a \B x_a={1\over r}, $
vagyis helyt\H{o}l f\"ugg\H{o} \'es szingul\'aris a $\L$ pontban. Hajt\-sunk v\'egre
egy konform transzform\'aci\'ot, azaz vezess\"unk be
egy m\'asik, nem fizikai metrik\'at. Legyen $\~h_{\B a\B c}=
\O^2 h_{\B a\B c}={1\over r^4}h_{\B a\B c}=\B r^4 h_{\B a\B c} ,$
ami egy s\'{\i}k t\'er metrik\'aja, \'es \'{\i}gy a $\L$ pontban is j\'ol viselkedik.
Az \'uj metrika szerinti kovari\'ans deriv\'al\'as m\'ar
egybeesik a (2.4) \"osszef\"ugg\'esben szerepl\H{o} parci\'alis deriv\'altakkal.
Defini\'aljuk az al\'abbi tenzormez\H{o}ket~:
$$\eqalign{
  P^{(0)}&= \~\P   \cr
  P^{(1)}_{\B a}& = \D_{\B a} P^{(0)}  \cr
  & \vdots  \cr
  P^{(n+1)}_{\B a_1\B a_2...\B a_{n+1}}&=
           \D_{\B a_{n+1}}P^{(n)}_{\B a_1...\B a_n}
                                         ,     }          \eqno(2.6)$$
ahol $\D_{\B a}$ a $\~h_{\B a\B c}$ metrika szerinti kovari\'ans deriv\'al\'as.
Ekkor a momentumtenzorokat a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen kaphatjuk~:
  $$ Q_{a_1...a_n} = P^{(n)}_{\B a_1...\B a_n}\I  .       \eqno(2.7)$$
 
   A momentumtenzorokat teh\'at defini\'alhatjuk \'ugy is, mint a
$\~\P= \O^{-1/2} \P$ potenci\'alnak, egy nem fizikai sokas\'ag t\'erbeli
v\'egtelennek megfelel\H{o} pontj\'aban sz\'amolt t\"obbsz\"ori kovari\'ans
deriv\'altjait a $\~h_{\B a\B c}=\O^2 h_{\B a\B c}$ metrika sze\-rint.
A momentumok defin\'{\i}ci\'oj\'anak g\"orb\"ult t\'erre val\'o \'altal\'anos\'{\i}t\'asa ehhez
hasonl\'o alak\'u lesz.
 
   Megvizsg\'aljuk, hogy hogyan f\"uggenek a $P^{(n)}_{\B a_1...\B a_n}$
tenzormez\H{o}k az $\O$ v\'alaszt\'as\'at\'ol. Ha $\O=r^{-2},$ akkor fenn\'allnak
a k\"ovetkez\H{o}k~:
 $$ \O\I = 0 ,\quad \D_{\B a}\O\I = 0 ,                  \eqno(2.8)$$
 $$ \D_{\B a}\D_{\B c}\O = 2\~h_{\B a\B c} ,             \eqno(2.9)$$
ahol $\D_{\B a}$ a $\~h_{\B a\B c}$-hoz tartoz\'o deriv\'al\'o oper\'ator.
V\'alasszunk egy m\'asik $\B\O=\o\O$ konform szorz\'ot, ami szint\'en tudja
ezt a h\'arom felt\'etelt. A harmadik felt\'etelnek a $\L$ helyen val\'o
alkalmaz\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy $\o\I=1.$
Beig [5] bebizony\'{\i}totta, hogy a $P^{(n)}_{\B a_1...\B a_n}$
tenzormez\H{o}k a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen transzform\'al\'odnak~:
$$\eqalign{
 \B P&^{(n)}_{\B a_1...\B a_n} = \cr
   &\C  \sum ^n_{k=0}
   \left(\matrix{n\cr k}  \right) {(2n-1)!!\over (2k-1)!!}
   (-2)^{k-n} \o^{-3/2-(n-1-k)} P^{(k)}_{\B a_1...\B a_k}
   \D_{\B a_{k+1}} \o ... \D_{\B a_n} \o      ,    }   \eqno(2.10)  $$
ahol $\C$ a szimmetrikus spurmentes r\'esz k\'epz\'es\'et jelenti, \'es
$(-1)!!=1!!=1.$
 
K\"onnyen el\-len\-\H{o}\-rizhet\H{o}, hogy
 $\B h_{\B a\B c}=\o^2 h_{\B a\B c}$
konform transzform\'aci\'on\'al a kovari\'ans deriv\'al\'ashoz sz\"uks\'eges
Christoffel-szimb\'olumok  a k\"ovetkez\H{o} m\'odon transzform\'al\'odnak~:
 $$\eqalign{ &\B\G^i_{kl}=\G^i_{kl}+C^i_{kl} , \cr
    &C^i_{kl}={1\over\o} \Bigl[ {\d\o\over\d x^k}\de^i_l +
     {\d\o\over\d x^l}\de^i_k - {\d\o\over\d x^m}h^{mi}h_{kl}
      \Bigr]  .      }                                 \eqno(2.11)  $$
Egy tetsz\H{o}leges $T_{a_1...a_n}$ tenzorra fenn\'all, hogy
  $$ \C\bigl[ T_{a_1...a_n}h_{a_{n+1}a_{n+2}} \bigr]=0 , \eqno(2.12)$$
mivel a spurtalan\'{\i}t\'askor \'eppen ilyen alak\'u tenzorokat kell levonni.
A (2.9) \"osszef\"ugg\'esnek az $\B\O$-ra val\'o alkalmaz\'as\'aval ki
lehet ejteni $\o$ magasabb rend\H{u} deriv\'altjait. Ezeket felhaszn\'alva
a (2.10) \"osszef\"ugg\'es teljes indukci\'oval vi\-szony\-lag egyszer\H{u}en,
de hosszadalmas sz\'amol\'assal kaphat\'o.
Ha (2.10)-et a $\L$ helyen vessz\"uk, $\o\I=1$ -et behelyettes\'{\i}tve
a momentumok transzform\'al\'od\'asi
szab\'aly\'at kapjuk. L\'athat\'o, hogy a momentumok megv\'altoz\'asa csak
$\D_{\B a} \o\I$-t\'ol f\"ugg, ami h\'arom sz\'am. Ez\'ert $\O$ megv\'alaszt\'asa annak
a pontnak a megv\'alaszt\'as\'aval ekvivalens, amelyhez k\'epest a momentumokat
sz\'amoljuk.
 
   Az $\o$ transzform\'aci\'oa f\"uggv\'eny alkalmas megv\'alaszt\'as\'aval el\'erhet\H{o},
hogy a dip\'olusmomentum
el\-t\H{u}n\-j\"on, azaz $\B M^{(1)}_a=0$ legyen, ami annak felel meg,
hogy a t\"omegk\"oz\'epponthoz viszony\'{\i}tva sz\'amoljuk a momentumokat.
 
\vfill\eject\noindent
{\bf 3. H\'AROMDIMENZI\'OS T\'ER DEFINI\'AL\'ASA}\par
\vskip 1cm
 
  A multip\'olusmomentumok defin\'{\i}ci\'oj\'anak n\'egydimenzi\'os t\'er\-i\-d\H{o}\-re
val\'o \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'ahoz sz\"uks\'eges egy h\'aromdimenzi\'os t\'er defini\'al\'asa, ami
t\"obb\-f\'e\-le\-k\'ep\-pen is lehets\'eges. Sztatikus t\'er defin\'{\i}ci\'oszer\H{u}en
tartalmaz
hiperfel\"uletre mer\H{o}leges id\H{o}szer\H{u} Killing-vektorteret. Ezen a
h\'aromdimenzi\'os hiperfel\"uleten, az induk\'alt metrika seg\'{\i}ts\'eg\'evel
vezette be Geroch [1] a multip\'olusmomentumokat.
 
  Geroch defin\'{\i}ci\'oj\'at Hansen [2] \'altal\'anos\'{\i}totta stacion\'arius terekre.
Legyen $(M,g_{\m\n})$ egy n\'egydimenzi\'os t\'erid\H{o}, \'es $K^\m$
id\H{o}szer\H{u} Killing vektort\'er. Jel\"olje $\M$ a $K^\m$ p\'aly\'ainak halmaz\'at.
$\M$-et, legal\'abbis lok\'alisan, mindig lehet
h\'aromdimenzi\'os differenci\'alhat\'o sokas\'agnak tekinteni.
Bel\'atjuk, hogy egy-egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'es van a $\M$-en
lev\H{o} tenzormez\H{o}k, \'es az $M$-en lev\H{o} olyan
$T^{\a...\b}_{\quad\g...\de}$ tenzormez\H{o}k k\"oz\"ott, amelyekre~:
 $$ K_\a T^{\a...\b}_{\quad\g...\de} = 0 ,\quad ...\quad ,
    K^\de T^{\a...\b}_{\quad\g...\de} = 0   ,               \eqno(3.1a)$$
 $$ {\cal L}_K T^{\a...\b}_{\quad\g...\de} = 0  ,           \eqno(3.1b)$$
ahol ${\cal L}_K$ a $K_\m$ ment\'en vett Lie deriv\'alt.  Ezt el\H{o}sz\"or
Geroch [6] mutatta meg, az \H{o} gondolatmenet\'et k\"ovetj\"uk.
Legyen $\p$ az az $M$-r\H{o}l $\M$-re val\'o lek\'epez\'es, ami b\'armely
$p\in M$ ponthoz hozz\'arendeli azt a $\p (p)$ p\'aly\'at $\M$-ben, amelyik
\'athalad a $p$ ponton.
Legyen $a'$ differenci\'alhat\'o f\"uggv\'eny $\M$-en. Legyen
$a=a'\circ\p,$ ez nyilv\'an konstans a $K^\m$ p\'aly\'ain, \'{\i}gy
${\cal L}_K a=0.$  Ford\'{\i}tva, ha ${\cal L}_K a=0,$  akkor $a$ konstans
a p\'aly\'akon, \'es \'{\i}gy egy\'ertelm\H{u}en defini\'al egy skal\'arf\"uggv\'enyt $\M$-en.
Skal\'arokra bel\'attuk az \'all\'{\i}t\'ast, most kovari\'ans vektorokra is
megmutatjuk, hogy igaz. Tetsz\H{o}leges $A_\a$ kovari\'ans vektormez\H{o}
$\M$-en a k\"ovetkez\H{o} alakba \'{\i}rhat\'o~:
  $$ A'_\a= a'D_\a b'+ ... +p'D_\a q'     ,                 \eqno(3.2)$$
ahol $D_\a$ egy gradiens oper\'ator $\M$-en, \'es $a',\  ...\ , q'$ f\"uggv\'enyek
$\M$-en. Az ennek megfelel\H{o} kovari\'ans vektormez\H{o}t $M$-en a
k\"ovetkez\H{o}k\'eppen defini\'alhatjuk~:
  $$ A_\a= a\na_\a b+ ... +p\na_\a q     ,            \eqno(3.3)$$
ahol $\na_\a$ a gradiens $M$-en, \'es $a,\  ...\ , q$ a vessz\H{o}s
skal\'arf\"uggv\'enyeknek megfelel\H{o} f\"uggv\'enyek $M$-en.
K\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy $A_\a$ kiel\'eg\'{\i}ti a (3.1) felt\'eteleket.
Ford\'{\i}tva is igaz, b\'armely (3.1)-et kiel\'eg\'{\i}t\H{o} kovari\'ans vektormez\H{o}
$M$-en fel\'{\i}rhat\'o (3.3) alakban, \'es \'{\i}gy (3.2) szerint defini\'al egy
vektormez\H{o}t $\M$-en.  A kovari\'ans vektorokat defini\'alhatjuk \'ugy,
mint olyan oper\'atorokat, amelyek b\'armely skal\'arf\"uggv\'enyhez hozz\'arendelik
annak egy vala\-mi\-lyen g\"orbe menti deriv\'altj\'at egy pontban [7].
Legyen $v$ vektor a $p\in M$ pontban. A $\p (p)\in\M$ pontban
defini\'alhatjuk ennek a $v'$ k\'ep\'et \'ugy, hogy
  $$ v'(a')=v(a\circ \p)                                   \eqno(3.4)$$
fenn\'alljon tetsz\H{o}leges $a'$ $\M$-en \'ertelmezett skal\'arf\"uggv\'enyre.
Nyilv\'an t\"obb k\"ul\"onb\"oz\H{o} $p$ pontbeli vektorhoz is hozz\'arendelt\"uk
ugyanazt a $\p(p)$ pontbeli vektort. A hozz\'arendel\'est egy\'ertelm\H{u}v\'e
lehet tenni, ha a $p$ pontban csak a $K^\m$ Killing-vektorra ortogon\'alis
vektorokat v\'alasztunk, azaz feltessz\"uk, hogy fenn\'all a (3.1a) felt\'etel.
Ha $v$ egy (3.1a) felt\'etelt kiel\'eg\'{\i}t\H{o} vektormez\H{o}, \'es
a $p$ \'es a $q$ pontok egy p\'aly\'an vannak, akkor lehet, hogy a
vektormez\H{o}nek a $p$ \'es $q$ helyen lev\H{o}
vektor\'ahoz k\"ul\"onb\"oz\H{o} $\p(p)$-beli vektorokat
rendel\"unk. Ennek elker\"ul\'es\'ehez sz\"uks\'eges, hogy a vektormez\H{o} $K^\m$
menti Lie deriv\'altja nulla legyen, azaz a (3.1b) felt\'etel is fenn\'alljon.
Az \'allit\'as tetsz\H{o}leges tenzormez\H{o}re k\"ovetkezik abb\'ol, hogy
b\'armely tenzor el\H{o}\'all\'{\i}that\'o kovari\'ans \'es kontravari\'ans vektorok
k\"uls\H{o} szorzatainak az \"osszegek\'ent.
Az \"osszead\'as, a k\"uls\H{o} szorz\'as \'es a kontrakci\'o felcser\'elhet\H{o} az
$M$-r\H{o}l $\M$-re val\'o \'att\'er\'essel, \'{\i}gy az eg\'esz tenzoralgebra $\M$-en
egy\'ertelm\H{u}en hozz\'a van rendelve az $M$-en lev\H{o} \'es a (3.1)
tulajdons\'agokat kiel\'eg\'{\i}t\H{o} tenzorok algebr\'aj\'ahoz. A tov\'abbiakban
a (3.1)-et kiel\'eg\'{\i}t\H{o} tenzormez\H{o}kr\H{o}l \'ugy fogunk besz\'elni, mint
$\M$-en lev\H{o} tenzormez\H{o}kr\H{o}l.
 
   Legyen $f = -K^\m K_\m > 0 .$  A kovetkez\H{o}k nyilv\'an tenzormez\H{o}k
$\M$-en~:
  $$h_{\m\n}=f g_{\m\n}+K_\m K_\n   ,                   \eqno(3.5) $$
  $$h^{\m\n}=f^{-1} g_{\m\n}+f^{-2}K_\m K_\n   ,        \eqno(3.6) $$
  $$h_\m^\n=h_{\m\r}h^{\r\n}=\de_\m^\n+f^{-1}K_\m K^\n .\eqno(3.7) $$
A $h_{\m\n}$ tenzor pozit\'{\i}v definit metrik\'at defini\'al $\M$-en, \'{\i}gy
a $h_{\m\n}$ \'es $h^{\m\n}$ tenzorokat haszn\'alhatjuk az indexek
fel \'es leh\'uz\'as\'ara. $h_\m^\n$ az $\M$-re val\'o projekci\'os oper\'ator
szerep\'et j\'atssza, ugyanis ha egy tenzormez\H{o}re (3.1b) fenn\'all, akkor
a $h_\m^\n$-vel val\'o vet\"ulet\'ere m\'ar (3.1a) is igaz.
Defini\'aljuk $\M$-en a kovari\'ans deriv\'al\'ast a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen~:
 $$ D_\f T^{\a...\b}_{\quad\g...\de} = h^\p_\f h^\a_\m ...
    h^\b_\n h^\r_\g ... h^\s_\de \na_\p
    T^{\m...\n}_{\quad\r...\s}    ,                     \eqno(3.8) $$
ahol $\na_\p$ a kovari\'ans deriv\'al\'as $M$-en. K\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o},
hogy ez \'ujabb tenzormez\H{o} $\M$-en.
$D_\f$-re igaz a Leibnitz szab\'aly, azaz k\'et tenzor k\"uls\H{o} szorzat\'anak a
deriv\'altja egyenl\H{o} az els\H{o} tag deriv\'altja szorozva a m\'asodik
taggal \'es hozz\'aadva a m\'asodik tag deriv\'altj\'at szorozva az els\H{o} taggal.
Tenzorok \"osszeg\'enek a deriv\'altja a deriv\'altak \"osszege. Tetsz\H{o}leges
$a$ skal\'armez\H{o}re $D_{[\a}D_{\b]}a=0,$ azaz $D_\a$ torzi\'omentes.
K\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy a $h_{\m\n},$ $h^{\m\n}$ \'es a
$h_\m^\n$ tenzorok deriv\'altjai null\'ak. Ezekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $D_\a$
a $h_{\m\n}$ seg\'{\i}ts\'eg\'evel a szok\'asos m\'odon fejezhet\H{o} ki.
Ha olyan koordin\'atarendszert v\'alasztunk, hogy az id\H{o}szer\H{u} $K^\m$
Killing vektornak csak az egyik komponense legyen null\'at\'ol
k\"ul\"onb\"oz\H{o}, akkor az $\M$-en lev\H{o} tenzoroknak nem lesznek id\H{o}szer\H{u}
indexhez tartoz\'o komponensei, \'{\i}gy h\'aromdimenzi\'os t\'eren \'ertelmezett
tenzornak tekinthet\H{o}k. A k\"ovetkez\H{o}kben az $\M$-en lev\H{o} tenzorok
indexeit latin kisbet\H{u}kkel jel\"olj\"uk.
 
 
\vfill\eject\noindent
{\bf 4. ASZIMPTOTIKUSAN S\'IK TEREK}\par
\vskip 1cm
 
    K\"ovetkez\H{o} l\'ep\'es a t\'eregyenlet megold\'asai k\"oz\"ul az aszimptotikusan
s\'{\i}k terek kiv\'alaszt\'asa. Aszimptotikusan s\'{\i}k terekre Penrose [8]
munk\'aja alapj\'an Geroch [1] adott egy koordin\'atarendszert\H{o}l f\"uggetlen
defin\'{\i}ci\'ot. Egy $h_{ab}$ metrik\'aj\'u $\M$ h\'aromdimenzi\'os sokas\'agot
aszimptotikusan s\'{\i}knak nevez\"unk, ha l\'etezik egy $\~\M$ sokas\'ag
$\~h_{ab}$ metrik\'aval \'ugy, hogy~:
\item{(i)} $ \~\M=\M\cup\L , $ ahol $\L$ egyetlen pont,
           ami a t\'erbeli v\'egtelennek felel meg,
\item{(ii)} $\~h_{ab} = \O^2 h_{ab},$ ahol $\O$ $C^2$ f\"uggv\'eny
           $\M$-en, \'es kiterjeszthet\H{o} a $\L$ pontra \'ugy, hogy
           $\~\M$-on is $C^2$ legyen,
\item{(iii)} Az $\O$ f\"uggv\'enyre a k\"ovetkez\H{o}ket k\"otj\"uk ki~:
        $$ \O\I = 0 ,\quad \D_i\O\I = 0 ,                \eqno(4.1)$$
        $$ \D_i\D_k\O\I = 2\~h_{ik}\I  ,                 \eqno(4.2)$$
         ahol $\D_i$ a $\~h_{ik}$-hoz tartoz\'o deriv\'al\'o oper\'ator.
 
A (4.1) felt\'etelek azt a c\'elt szolg\'alj\'ak, hogy $\O$ el\'eg gyorsan
tartson a v\'egtelenben null\'ahoz. A (4.2) felt\'etel azt fejezi ki, hogy
a transzform\'alt metrika is s\'{\i}k legyen az orig\'oban, ugyanis
$\~h_{ab} = \O^2 h_{ab}$ konform transzform\'aci\'on\'al a Ricci-tenzor
a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen transzform\'al\'odik~:
  $$\~R_{ij}=R_{ij}-{1\over\O}\D_i\D_j\O+\~h_{ij} \bigl(
  {2\over\O^2}\D_k\O \D^k\O-{1\over\O}\~\Delta\O \bigr), \eqno(4.3)$$
ahol $\~\Delta$ a $\~h_{ik}$-hoz tartoz\'o Laplace oper\'ator,
\'es h\'aromdimenzi\'os t\'erben a Ricci-tenzor egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a
g\"orb\"uleti tenzort.
 
A m\'asodik fejezet alapj\'an, $\O=r^{-2}$ v\'alaszt\'assal, k\"onnyen l\'athat\'o,
hogy az euklideszi t\'er aszimptotikusan s\'{\i}k. Az euklideszi esetben
(4.2) az eg\'esz t\'erben fenn\'all, de g\"orb\"ult t\'er eset\'en ez t\'ul
er\H{o}s felt\'etel lenne.
 
\vskip 2cm
{\bf 5. A MOMENTUMOK DEFIN\'ICI\'OJA}\par
\vskip 1cm
 
    Legyen $\P$ egy val\'os vagy komplex skal\'arf\"uggv\'eny $\M$-en.
Ennek a momentumait fogjuk vizsg\'alni, felt\'eve, hogy $h_{ij}$
ismert. A momentumok defin\'{\i}ci\'oj\'at Geroch [1] \'es Hansen [2] adta meg.
Teljes\'{\i}tse az $\M$ h\'aromdimenzi\'os sokas\'ag $h_{ij}$ metrik\'aval az
aszimptotikusan s\'{\i}ks\'ag felt\'eteleit. Defini\'aljunk egy m\'asik
skal\'arf\"uggv\'enyt, legyen $\~\P = \O^{-1/2} \P ,$ amir\H{o}l fel\-t\'e\-telezz\"uk,
hogy analitikus a $\L$ pontban. Rekurzi\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk az
al\'abbi tenzormez\H{o}ket a $\~\M$ sokas\'agon~:
$$\eqalign{
  P^{(0)}&= \~\P   \cr
  P^{(1)}_i& = \D_i P^{(0)}  \cr
  & \vdots  \cr
  P^{(n+1)}_{i_1i_2...i_{n+1}}&=\C\bigl[\D_{i_{n+1}}P^{(n)}_{i_1...i_n}
     -{1\over2}n(2n-1)\~R_{i_1i_2}P^{(n-1)}_{i_3...i_{n+1}}\bigr]  ,
                                               }   \eqno(5.1)    $$
ahol $\C$ a szimmetrikus spurmentes r\'esz k\'epz\'es\'et jelenti, $\D_i$
a $\~h_{ik}$-nak megfelel\H{o} kovari\'ans deriv\'al\'as, $\~R_{ij}$ a
$\~h_{ik}$-hoz tartoz\'o Ricci-tenzor. A Ricci-tenzor defin\'{\i}ci\'oja
$\~R_{ik}=\~R_{\ irk}^r,$ ahol a g\"orb\"uleti tenzort \'ugy defini\'aljuk, hogy
tetsz\H{o}leges $v_i$ vektormez\H{o}re teljes\"ul, hogy
   $$(\D_i\D_j-\D_j\D_i)v_k=\~R_{ijkr}v^r   .            \eqno(5.2)     $$
 
     A multip\'olusmomentumtenzorokat \'ugy defini\'aljuk, hogy legyenek a
$P^{(n)}_{i_1...i_n}$ tenzormez\H{o}knek a $\L$ pontban felvett
\'ert\'ekei, azaz~:
  $$ M^{(n)}_{i_1...i_n} = P^{(n)}_{i_1...i_n}\I  . \eqno(5.3)     $$
 
     Ha $\M$ euklideszi t\'er, akkor $\O = r^{-2}$ v\'alaszt\'assal
$\~\M$ is az, \'{\i}gy $\~R_{ij} = 0 .$  Ha $\Delta \P = 0,$ akkor a
spurmentess\'eg teljes\"ul, \'es
\'{\i}gy visszakapjuk a momentumok szok\'asos defin\'{\i}ci\'oj\'aval ekvivalens
(2.6) \'es (2.7) k\'epleteket.
 
    Annak meg\'ert\'es\'ehez, hogy a Ricci-tenzort tartalmaz\'o tag mi\'ert
szerepel az (5.1) defin\'{\i}ci\'oban, meg kell vizsg\'alni, hogy
egy\'ertelm\H{u}en vannak-e defini\'alva a momentumok, \'es hogy mi az $\O$
f\"uggv\'eny jelent\'ese.
 
\vfill\eject\noindent
{\bf 6. $\O$ JELENT\'ES\'ENEK VIZSG\'ALATA}\par
\vskip 1cm
 
    Euklideszi esetben, ha $\O$-t \'ugy v\'alasztjuk, hogy $\~\M$ is
Euklideszi legyen, akkor mint a 2. fejezetben l\'attuk, $\O$ v\'alaszt\'asa
ekvivalens annak a pontnak a megv\'alaszt\'as\'aval, amelyre vonatkoztatva
a momentumokat sz\'amoljuk. $\O$ egy ki\-csiny v\'altoz\'asa megfelel a
koordin\'atarendszer egy kis eltol\'as\'anak.
 
   V\'alasszunk egy m\'asik $\O$-t, legyen $\B\O = \o \O .$
Ahhoz, hogy az aszimptotikusan s\'{\i}ks\'ag (iii) felt\'etel\'enek (4.2)
egyenlete tov\'abbra is
fenn\'alljon, sz\"uks\'eges, hogy $\o$-t az $\~\M$-re folytonosan
kiterjesztve $\o\I = 1$ teljes\"ulj\"on. Beig [5] kisz\'amolta a
$P^{(n)}_{i_1...i_n}$ tenzormez\H{o}k transzform\'al\'od\'asi szab\'aly\'at
tetsz\H{o}leges $\o$ eset\'ere~:
 $$\eqalign{ \B P&^{(n)}_{i_1...i_n} = \cr
  &\C  \sum ^n_{k=0}
   \left(\matrix{n\cr k}  \right) {(2n-1)!!\over (2k-1)!!}
   (-2)^{k-n} \o^{-3/2-(n-1-k)} P^{(k)}_{i_1...i_k}
   \D_{i_{k+1}} \o ... \D_{i_n} \o        , }          \eqno(6.1)$$
ami azonos a s\'{\i}k t\'erre vonatkoz\'o (2.10) k\'eplettel.
Felhaszn\'alva, hogy a  $\B h_{ac}=\o^2 \~h_{ac}$ konform
transzform\'aci\'on\'al a Christoffel-szimb\'olumok (2.11)-nek megfelel\H{o}en
v\'altoznak, \'es hogy a Ricci-tenzor a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen
transzform\'al\'odik~:
  $$\B R_{ij}=\~R_{ij}-{1\over\O}\D_i\D_j\O - {1\over\O}\~h_{ij}
    \~\Delta\O + {2\over\O^2}\D_i\O \D_j\O   ,         \eqno(6.2)$$
valamint azt, hogy (2.12) szerint, tetsz\H{o}leges a metrikus tenzorral
k\"ul\-s\H{o} szorzott tenzor szimmetrikus spurmentes r\'esze nulla, a (6.1)
transzform\'al\'od\'asi szab\'aly teljes indukci\'oval egyszer\H{u}en, de hossz\'u
sz\'amol\'as ut\'an kaphat\'o.
 
   Ha ezt a $\L$ helyen vessz\"uk, a momentumtenzorok transzform\'al\'od\'asi
szab\'aly\'at kapjuk~:
 $$ \B M^{(n)}_{i_1...i_n} = \C \sum ^n_{k=0}
   \left(\matrix{n\cr k}  \right) {(2n-1)!!\over (2k-1)!!}
   (-2)^{k-n} M^{(k)}_{i_1...i_k}
   \D_{i_{k+1}} \o\I ... \D_{i_n} \o\I      .            \eqno(6.3)$$
 L\'athat\'o, hogy a momentumok megv\'altoz\'asa csak
$\D_i \o\I$-t\'ol f\"ugg, ami h\'arom sz\'am. Ez is mutatja, hogy
$\O$ megv\'alaszt\'asa annak a koorddin\'atarendszernek a megv\'alaszt\'as\'aval
ekvivalens, amelyhez k\'epest a momentumokat sz\'amoljuk.
G\"orb\"ult t\'erben nem lehet a (4.2) \"osszef\"ugg\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel kiejteni
az $\o$ m\'asodik deriv\'altjait, mivel az csak a $\L$ pontban \'all fenn.
Ez\'ert ha a $P^{(n)}_{i_1...i_n}$ tenzorok defin\'{\i}ci\'oj\'ab\'ol a Ricci-tenzort
tartalmaz\'o tagot kihagyn\'ank, akkor a tenzorok megv\'altoz\'as\'aban $\o$
t\"obbsz\"or\"os kovari\'ans deriv\'altjai is megjelenn\'enek, de ha belevessz\"uk
a defin\'{\i}ci\'oba ezt a tagot, akkor a  t\"obbsz\"or\"os deriv\'altak
kiejtik egym\'ast.  Ha megjelenn\'enek a t\"obbsz\"or\"os deriv\'altak, az az\'ert
lenne baj, mert \'{\i}gy a momentumtenzorok \'ert\'eke egy h\'aromn\'al t\"obb
dimenzi\'os param\'eterhalmazt\'ol f\"uggene, amelyet nem feleltethetn\'enk meg
a h\'aromdimenzi\'os t\'erben val\'o eltol\'asoknak.
 
   Euklideszi t\'erben, a newtoni gravit\'aci\'oelm\'eletben, annak a
pontnak az al\-kal\-mas megv\'alaszt\'as\'aval, amelyre vonatkoztatva a
momentumokat sz\'amoljuk, mindig el\'erhet\H{o}, hogy a dip\'olusmomentum
nulla legyen. Ez -- ha $\P$ val\'os -- $\o$ megv\'alaszt\'as\'aval g\"orb\"ult
t\'erben is megtehet\H{o}. Az $M_i = 0$ felt\'etelb\H{o}l $\D_i \o \I$
kifejezhet\H{o}, amit behelyettes\'{\i}tve kaphatjuk~:
 $$ \B M^{(n)}_{i_1...i_n} = \C  \sum ^n_{k=0}
   \left(\matrix{n\cr k}  \right) {(2n-1)!!\over (2k-1)!!}
   (-M^{(0)})^{k-n}  M^{(k)}_{i_1...i_k}
   M_{i_{k+1}} ... M_{i_n}              .               \eqno(6.4) $$
Komplex $\P$ eset\'en hasonl\'oan el\'erhet\H{o}, hogy a dip\'olusmomentum
val\'os r\'esze nulla legyen. Ez a transzform\'al\'as az\'ert jelent\H{o}s,
mert \'{\i}gy a momentumtenzorok \'ert\'eke f\"uggetlenn\'e v\'alik $\O$
megv\'alaszt\'as\'at\'ol.
 
\vskip 2cm
{\bf 7. $\P$ MEGV\'ALASZT\'ASA}\par
\vskip 1cm
 
   Meg kell vizsg\'alni, hogy mi legyen az a $\P$ skal\'arf\"uggv\'eny,
aminek a momentumait sz\'amoljuk. T\"obbf\'ele v\'alaszt\'as is lehets\'eges,
amelyekhez k\"ul\"onb\"oz\H{o} momentumtumtenzorok tartozhatnak. Hogy a
momentumok sz\'amol\'as\'ahoz sz\"uks\'eges deriv\'al\'asokat el tudjuk v\'egezni,
sz\"uks\'eges, hogy $\~\P = \O^{-1/2} \P$ analitikus legyen a $\L$
pontban.
 
   Euklideszi t\'erben $\O = r^{-2}$ v\'alaszt\'assal
$\~\P = {1\over r} \P ,$ \'{\i}gy a felt\'etel az, hogy $\P$ ne tartson
a v\'egtelenben $ {1\over r}$-n\'el lassabban null\'ahoz. Ez v\'eges
t\'err\'eszben l\'ev\H{o} v\'eges t\"omegek eset\'en \'{\i}gy is van.
 
    Ernst [9] nyom\'an defini\'alhat\'o a k\"ovetkez\H{o} vektort\'er a
t\'erid\H{o}n~: $  \p_\m=\e_{\m\n\rho\sigma}K^\n K^{\rho;\sigma} ,$
ahol $K^\m$ az id\H{o}szer\H{u} Killing vektor. Az $R_{ij}=0$
v\'akuum Einstein egyenletekb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy $\p_\m$ lok\'alisan
egy gradiens, azaz l\'etezik egy $\p$ skal\'arf\"uggv\'eny, hogy
$\p_{;\n}=\p_\n.$
 
   Stacion\'arius esetben Hansen [2] k\'et val\'os f\"uggv\'enyt v\'alasztott~:
 $$\eqalign{ \P_M &= {1\over 4} f^{-1} (f^2+\p^2-1) , \cr
    \P_J &= {1\over 2} f^{-1} \p              ,      }      \eqno(7.1)$$
ahol $f=-K_\m K^\m,$ a Killing vektor norm\'aj\'anak abszol\'ut \'ert\'eke.
A $\P_M$-hez tartoz\'o momentumok a t\"omegmomentumok, a $\P_J$-hez
tartoz\'ok pedig a forg\'asi momentumok. Az ut\'obbi elnevez\'es\'enek jogoss\'ag\'at
mutatja az, hogy sztatikus t\'er eset\'en $\p = 0,$ \'es \'{\i}gy $\P_J = 0,$ \'es
a hozz\'a tartoz\'o momentumok elt\H{u}nnek.
 
    Egyes\'{\i}ts\"uk a $f$ \'es $\p$ potenci\'alokat a komplex Ernst potenci\'all\'a~:
  $$          \E = f +i\p                   .       \eqno(7.2) $$
Ebb\H{o}l k\'epezz\"uk a k\"ovetkez\H{o} komplex gravit\'aci\'os potenci\'alt~:
 $$\x={1-\E\over 1+\E}  .                                  \eqno(7.3) $$
Ekkor~:
  $$ Re {\x \over \x\x^*-1} = \P_M \quad , \quad
     Im {\x \over \x\x^*-1} = -\P_J .                \eqno(7.4) $$
Legyen $\P = {\x \over \x\x^*-1} .$ Ebb\H{o}l komplex momentumokat
kapunk, amelyeknek val\'os \'es k\'epzetes r\'eszeik el\H{o}jelt\H{o}l eltekintve
a Hansen \'altal defini\'alt t\"omeg \'es forg\'asi momentumokat adj\'ak.
 
    Beig \'es Simon [4] egy t\'etel\'eb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy el\H{o}jelt\H{o}l
eltekintve szint\'en ugyanezeket a momentumokat kapjuk a
   $$ \P = \x                                       \eqno(7.5) $$
v\'alaszt\'assal. A k\"ovetkez\H{o}kben csak a $\x$-b\H{o}l sz\'amolt komplex
momentumokkal fogunk foglalkozni.
 
\vskip 2cm
{\bf 8. A T\'EREGYENLETEK}\par
\vskip 1cm
 
    Tegy\"uk fel, hogy $M$-ben csak az orig\'o egy k\"ornyezet\'eben van
anyag. Ezt a r\'eszt kiz\'arva, a k\"uls\H{o} t\'erben a v\'akuum
Einstein-egyenletek \'erv\'enyesek. Ezekb\H{o}l az al\'abbi egyenletek
k\"ovetkeznek [10]~:
 $$ (\x\x^*-1)\Delta\x=2\x^*(\na\x)^2             \eqno(8.1)$$
\'es
 $$ R_{ij} - {1\over 2} R h_{ij} = { \x_{,i} \x_{,j}^* +
   \x_{,i}^* \x_{,j} - h_{ij} \x^{,r} \x_{,r}^*  \over
   (\x \x^*-1)^2 }     ,                             \eqno(8.2)$$
ahol $i,j = 1,2,3 ,$ \'es $\Delta\x$ , $(\na\x)^2$ \'es $R_{ij}$
a $\M$-en lev\H{o} $h_{ij}$ metrik\'anak megfelel\H{o} mennyis\'egek.
A (8.1) egyenlet elvileg megoldhat\'o $\x$-re, \'es ekkor a (8.2)
egyenletb\H{o}l kifejezhet\H{o}k a metrikus tenzor komponensei.
 
   A (8.1) \'es (8.2) t\'eregyenletek a
   $$ \GG={1+\x^*\over 1-\x}\quad {\na\x\over \x\x^*-1} \eqno(8.3)$$
vektor bevezet\'es\'evel az al\'abbi $\GG$-ben els\H{o}rend\H{u}
form\'aba \'{\i}hat\'ok [10]~:
 $$  R_{ij}=G_iG^*_j+G^*_iG_j  ,                     \eqno(8.4)$$
 $$  (\na -\GG +\GG^*)\GG =0 ,                       \eqno(8.5)$$
 $$  (\na -\GG +\GG^*)\times \GG =0 ,                \eqno(8.6)$$
ahol $\times$ a h\'aromdimenzi\'os vektorszorzat.
A k\'es\"obbiekben a momentumok sz\'amol\'asakor is c\'elszer\H{u} lesz egy
hasonl\'o vektor bevezet\'ese.
 
   Beig \'es simon [4] bel\'att\'ak, hogy konvergenciaprobl\'em\'akt\'ol
eltekintve, adott momentumtenzorokhoz egy\'ertelm\H{u}en tartozik egy
t\'erid\H{o}, \'es forditva, egy aszimptotikusan s\'{\i}k t\'erid\H{o}h\"oz
egy\'ertelm\H{u}en vannak \'ertelmezve a momentumtenzorok.
 
\vfill\eject\noindent
{\bf 9. TENGELYSZIMMETRIKUS T\'ER MOMENTUMAI}\par
\vskip 1cm
 
   A tov\'abbiakban lesz\H{u}k\'{\i}tj\"uk a t\'argyal\'ast tengelyszimmetrikus
(\'es stacion\'arius) t\'erid\H{o}kre. Legyenek a koordin\'at\'ak
$x^0=t$ , $x^1=\r$ , $x^2=z$ \'es $x^3=\f .$  Hansen [2] \'eszrevette, hogy
mivel a $\r=0$ szimmetriatengelyen lev\H{o} tenzoroknak a tengely
k\"or\"ul val\'o elforgat\'askor nem szabad megv\'altozniuk, a momentumtenzorok
csak a tengely ir\'any\'u $n^a$ egys\'egvektor \"onmag\'aval vett spurmentes
k\"uls\H{o} szorzatainak a sz\'amszorosai lehetnek. Azaz egy konstans
szorozva $\C [n^{i_1}...n^{i_n}] \I$ alak\'uak. Teh\'at a momentumtenzorok
egy konstans szorz\'ot\'ol eltekintve ismertek. Ez\'ert Hansen a k\"ovetkez\H{o}
skal\'ar momentumokat defini\'alja~:
 $$ P_n={1\over n!} P^{(n)}_{i_1...i_n}n^{i_1}...n^{i_n} \I  .
                                                         \eqno(9.1)$$
Mivel a tengelyen $n^a=(0,1,0),$ a momentumok a k\"ovetkez\H{o} alakba
irhat\'ok~:
 $$ P_n={1\over n!} P^{(n)}_{2...2} \I       .         \eqno(9.2)$$
 
   Stacion\'arius \'es tengelyszimmetrikus t\'erid\H{o} metrik\'aj\'at a k\"ovetkez\H{o}
alakban szok\'as fel\'{\i}rni~:
$$ ds^2={1\over f}[e^{2\g}(d\r ^2+dz^2)+\r ^2d\f^2]-f(dt-\o d\f)^2 ,
                                                         \eqno(9.3)$$
ahol $f$ , $\g$ \'es $\o$ csak $x^1=\r$-t\'ol \'es $x^2=z$-t\H{o}l f\"ugg.
(3.5) seg\'{\i}ts\'eg\'evel a h\'aromdimenzi\'os $\M$-en defini\'alt metrika
  $$ h_{ij}=\left(\matrix{e^{2\g}&0&0\cr 0&e^{2\g}&0\cr 0&0&\r^2\cr}
  \right).                                               \eqno(9.4)$$
Ebb\H{o}l~:
  $$ R_{ij} - {1\over 2} R h_{ij} =
   \left(\matrix{{1\over \r}\g_{,1}&{1\over \r}\g_{,2}&0\cr
                 {1\over \r}\g_{,2}&-{1\over \r}\g_{,1}&0\cr
                 0&0&\r^2 e^{-2\g} (\g_{,11}+\g_{,22}) \cr}
  \right).                                               \eqno(9.5)$$
Amit a (8.2) egyenlettel \"osszehasonl\'{\i}tva~:
 $$\eqalign{ \g_{,1} &=
    {\r \over (\x\x^*-1)^2} (\x_{,1}\x_{,1}^* - \x_{,2}\x_{,2}^*) ,\cr
     \g_{,2} &=
    {\r \over (\x\x^*-1)^2} (\x_{,1}\x_{,2}^* + \x_{,1}^*\x_{,2}) ,
                                                    }   \eqno(9.6)  $$
$\Delta\x ={1\over\sqrt{h}}{\d\over\d x^i}(\sqrt{h}h^{ij}\x_{,j})=
 (\x_{,11}+\x_{,22}+{1\over \r}\x_{,1})e^{-2\g} , $ \'es \hfill
 
\noindent
$(\na\x)^2=h^{ij}(\d_i\x)(\d_j\x)=[(\x_{,1})^2+(\x_{,2})^2]e^{-2\g}.$
Ezeket a (8.1) t\'eregyenletbe be\'{\i}rva~:
  $$ (\x\x^*-1)(\x_{,11}+\x_{,22}+{1\over \r}\x_{,1})  =
    2\x^*[(\x_{,1})^2+(\x_{,2})^2]  .                    \eqno(9.7)  $$
 
  Hajtsuk v\'egre az al\'abbi koordin\'atatranszform\'aci\'ot~:
 $$ \B\r ={\r\over \r^2+z^2}\quad,\qquad \B z ={z\over \r^2+z^2}\quad,
     \qquad \B\f =\f .                                  \eqno(9.8)$$
Az \'uj koordin\'atarendszerben a metrikus tenzor a k\"ovetkez\H{o} alak\'u
lesz~:
  $$ h_{\B i\B j}={1\over \B r^4}
  \left(\matrix{e^{2\g}&0&0\cr 0&e^{2\g}&0\cr 0&0&\B \r^2\cr}
  \right) .                                                \eqno(9.9)$$
ahol  $  \B r^2=\B \r^2+\B z^2 . $
Ezent\'ul csak ebben a koordin\'atarendszerben dolgozunk, ez\'ert a
tov\'abbiakban elhagyjuk a koordin\'at\'akr\'ol \'es az $\B r$-r\H{o}l
a fel\"ulh\'uz\'ast.
$\Delta\x = r^4 e^{-2\g} (\x_{,11}+\x_{,22}+{1\over \r}\x_{,1}-
   {2\r\over r^2}\x_{,1}-{2 z\over r^2}\x_{,2}  ), $ \'es \hfill
 
\noindent
$(\na\x)^2=r^4 e^{-2\g}[(\x_{,1})^2+(\x_{,2})^2] .$
Beirva a (8.1) t\'eregyenletbe~:
  $$ (\x\x^*-1)(\x_{,11}+\x_{,22}+{1\over \r}\x_{,1}-
    {2\r\over r^2}\x_{,1}-{2 z\over r^2}\x_{,2})  =
    2\x^*[(\x_{,1})^2+(\x_{,2})^2] .                   \eqno(9.10)  $$
A (9.6) egyenletekb\H{o}l~:
 $$\eqalign{ \g_{,1} &=
    {1\over (\x\x^*-1)^2} {\r\over r^2}
    [ (z^2-\r^2)(\x_{,1}\x_{,1}^* - \x_{,2}\x_{,2}^*) -
      2\r z(\x_{,1}\x_{,2}^* + \x_{,1}^*\x_{,2})]   ,\cr
     \g_{,2} &=
    {1\over (\x\x^*-1)^2} {\r\over r^2}
    [ 2\r z(\x_{,1}\x_{,1}^* - \x_{,2}\x_{,2}^*) +
      (z^2-\r^2) (\x_{,1}\x_{,2}^* + \x_{,1}^*\x_{,2})] .
                                                    }   \eqno(9.11) $$
 
\vskip 2cm
{\bf 10. KONFORM TRANSZFORM\'ACI\'O}\par
\vskip 1cm
 
   Legyen az $\~\M$ sokas\'ag az eredeti $\M$ sokas\'ag \'es az orig\'o
uni\'oja, azaz $\~\M=\M\cup\L.$ V\'alasszunk $\O=r^2$-et, ekkor a metrika
$\~\M$-on $\~h_{ij}=\O^2h_{ij}=r^4 h_{ij},$ azaz
  $$ \~h_{ij}=\left(\matrix{e^{2\g}&0&0\cr 0&e^{2\g}&0\cr 0&0&\r^2\cr}
  \right).                                               \eqno(10.1)$$
K\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o},hogy ha $\g\I=1 ,$  akkor a t\'er kiel\'eg\'{\i}ti az
aszimptotikusan s\'{\i}ks\'ag felt\'eteleit.
$\~\Delta\x =
 (\x_{,11}+\x_{,22}+{1\over \r}\x_{,1})e^{-2\g} , $  \hfill
 
\noindent
$(\~\na\x)^2=[(\x_{,1})^2+(\x_{,2})^2]e^{-2\g} $ \'es
$\~\na r \~\na\x={1\over r}(\r\x_{,1}+z\x_{,2})e^{-2\g}. $
Ezek felhaszn\'al\'as\'aval a (9.10) egyenlet a k\"ovetkez\H{o} alakba \'{\i}rhat\'o:
 $$ (\x\x^*-1)(\~\Delta\x-{2\over r}\~\na r \~\na\x)
     =2\x^*(\~\na\x)^2              .                 \eqno(10.2)$$
 
   Vezess\"uk be a momentumok sz\'amol\'as\'ahoz sz\"uks\'eges
$\X=\O^{-1/2}\x={1\over r}\x$ meny\-nyis\'eget. Az el\H{o}z\H{o} egyenletbe
$\x=r\X$ -t helyettes\'{\i}tve, a t\'eregyenletet kapjuk  $\X$-ra~:
  $$ (r^2\X\X^*-1)\~\Delta\X=2\X^*[r^2(\~\na\X)^2+2r\X\~\na\X
    \~\na r+\X^2] .                                  \eqno(10.3)$$
Ez az egyenlet elvileg megoldhat\'o $\X$-ra. A (10.1) metrik\'ab\'ol
sz\'amolhat\'o a Ricci-tenzor~:
  $$ \~R_{ij} =    \left(\matrix{
       {1\over \r}\g_{,1}-\g_{,11}-\g_{,22}&{1\over \r}\g_{,2}&0\cr
       {1\over \r}\g_{,2}&-{1\over \r}\g_{,1}-\g_{,11}-\g_{,22}&0\cr
       0&0&0 \cr}
  \right).                                               \eqno(10.4)$$
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket~:
  $D=r^2\X\X^*-1 ,$  $\~G_1={1\over D}(z\X_{,1}-\r\X_{,2}) ,$
  $\~G_2={1\over D}(\r\X_{,1}+z\X_{,2}+\X)$  \'es $\~G_3=0 .$
Helyettes\'{\i}ts\"uk be a Ricci-tenzor (10.4) kifejez\'es\'ebe a (9.11)
\"osszef\"ugg\'eseket, \'es $\x=r\X$ -t. A jel\"ol\'eseket felhaszn\'alva kapjuk,
hogy~:
 $$  \~R_{ij}=(\~G_i\~G^*_j+\~G^*_i\~G_j) .                     \eqno(10.5)$$
A (10.4) \"osszef\"ugg\'esb\H{o}l kifejezhet\H{o} $\g_{,i}$ a Ricci-tenzor
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, a k\"o\-vet\-ke\-z\H{o}\-k\'ep\-pen~:
$$\g_{,1}={\r \over 2}(\~R_{11}-\~R_{22}) \ ,\qquad
\g_{,2}=\r\~R_{12}      .                                \eqno(10.6)$$
\'Igy $\~R_{ij}$-t \'es $\g_{,i}$-t kifejezt\"uk $\X$ seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
$\g_{,i}$-re a kovari\'ans deriv\'al\'asokn\'al lesz sz\"uks\'eg, ugyanis a
(10.1) metrik\'ab\'ol sz\'amolt Christoffel-szimb\'olumok~:
  $\G^3_{13}={1\over \r} ,$  $\G^1_{33}=-\r e^{-2\g} ,$
  $\G^1_{11}=\G^2_{12}=-\G^1_{22}=\g_{,1} ,$
  $\G^2_{22}=\G^1_{12}=-\G^2_{11}=\g_{,2} ,$ a t\"obbi nulla.
 
   Ha a (10.3) egyenletnek ismern\'enk egy $\X$ megold\'as\'at, akkor (10.5)
alapj\'an ki tudn\'ank sz\'amolni a Ricci-tenzort, ennek felhaszn\'al\'as\'aval,
(10.6) \'es (10.7) seg\'{\i}ts\'eg\'evel a Christoffel-szimb\'olumokat. Ezek
felhaszn\'al\'as\'aval (5.1) \'es (9.2) alapj\'an a momentumokat.
 
 
\vskip 2cm
{\bf 11. SORFEJT\'ESI EGY\"UTTHAT\'OK}\par
\vskip 1cm
 
Ha $\X$ adott a szimmetriatengelyen, akkor a (10.3) egyenlet
meghat\'arozza az \'ert\'ek\'et az eg\'esz t\'erben. Adjuk meg $\X$-ot a
tengelyen sorfejt\'esi egy\"utthat\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, azaz legyen
 $$ \X(\r=0) \quad = \sum ^{\infty}_{n=0} m_n z^n ,     \eqno(11.1)$$
ahol az $m_n$-ek komplex konstansok. Az $m_n$ sz\'amok egy\'ertelm\H{u}en
meg\-ha\-t\'a\-roz\-z\'ak a momentumok \'ert\'ek\'et.
 
   Nyilv\'anval\'oan igaz, hogy $P_0=m_0$ \'es $P_1=m_1 .$
Sztatikus esetben Hoenselaers [11] bel\'atta, hogy $P_2=m_2 .$
Ez\'ert \'ugy sejtett\'ek, hogy $P_n=m_n .$   Hansen [2] kisz\'amolta a Kerr
megold\'as momentumait , $P_n=m(ia)^n ,$ ami minden $n$-re a sejt\'esnek
megfelel\H{o}. Singer [12] a sejt\'est igaznak
tal\'alta $n=3$-ra.  De I. Hauser \'eszrevette, hogy $n=4$ \'es $n=5$-re
m\'ar nem igaz a sejt\'es. Hoenselaers [3] kisz\'amolta a momentumokat
$n=7$-ig, de nem tal\'alt semmi szab\'alyoss\'agot benn\"uk. Siker\"ult egy
hat\'ekonyabb algoritmust k\'esz\'{\i}tenem, amelynek seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudtam
sz\'amolni a momentumok \'ert\'ek\'et a tizenkettedik rendig.
 
 $ P^{(n)}_{i_1...i_n} $  kisz\'amol\'as\'ahoz sz\"uks\'eg van a
 $ \d_1 P^{(n-1)}_{i_1...i_{n-1}}    $ \'es a
 $ \d_2 P^{(n-1)}_{i_1...i_{n-1}}   $  deriv\'altakra.
Azaz sz\"uks\'eg van a $\X$ t\"obbsz\"or\"os deriv\'altjaira az orig\'oban.
Az $n.$ momentum kisz\'amol\'as\'ahoz sz\"uks\'egesek a  $\d^a_1\d^b_2\X\I $
mennyis\'egek, ahol $a+b\leq n.$
Ezt a probl\'em\'at \'ugy oldottam meg, hogy a (10.3) egyenletbe
behelyettes\'{\i}tettem a $\X$ sorfejt\'es\'et a k\"ovetkez\H{o} alakban~:
  $$ \X=\sum^{\infty}_{i,j=0} a_{ij} \r^i z^j ,       \eqno(11.2)$$
ahol $a_{0j}=m_j .$  Az azonos $\r$ \'es $z$ hatv\'anyok egy\"utthat\'oit
\"osszehasonl\'{\i}tva a k\"ovetkez\H{o} \"osszef\"ugg\'es kaphat\'o~:
$$ \eqalign{ (r+2)^2& a_{r+2,s}=-(s+2)(s+1)a_{r,s+2}           \cr
+&\sum_{k+m+p=r \atop l+n+q=s} a_{kl} a^*_{mn}[a_{pq}(p^2+q^2-4p-5q
  -2pk-2ql-2)                                                  \cr
 +&a_{p+2,q-2}(p+2)(p+2-2k)
  + a_{p-2,q+2}(q+2)(q+1-2l)] \quad . }               \eqno(11.3)$$
Ennek seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $a_{ij}$ konstansokat ki lehet fejezni az
$m_i$ konstansok seg\'{\i}ts\'eg\'evel.  Egy adott $a_{ij}$ kisz\'amol\'as\'ahoz
sajnos sz\"uks\'eg van szinte az \"osszes olyan $a_{kl}$-re, amelyre
$i+j>k+l, $ vagy amelyre $i+j=k+l$ \'es $k<j .$ A sz\'amol\'ast megnehez\'{\i}ti,
hogy n\'egy szumma van egym\'asba \'agyazva. A (11.3) \"osszef\"ugg\'es alapj\'an
kisz\'amolva az $a_{ij}$ egy\"utthat\'okat, ha $i$ p\'aratlan, $a_{ij}=0$ ad\'odik,
ami sz\"uks\'eges ahhoz, hogy $\X$ analitikus legyen a $\L$ pontban.
 
   Ilyen m\'odon kisz\'amolhat\'o $\X$ polinom alakj\'aban a sz\"uks\'eges rendig.
Ezut\'an a (10.5), (10.6) \'es (10.7) \"osszef\"ugg\'esek alapj\'an sz\'amolhat\'ok a
Ricci-tenzor komponensei \'es a Christoffel-szimb\'olumok, majd (5.1) \'es (9.2)
felhaszn\'al\'as\'aval a momentumok. Neh\'ezs\'eget okozhat a
$ P^{(n)}_{i_1...i_n} $ tenzorok (5.1) defin\'{\i}ci\'oj\'aban a spurtalan\'{\i}t\'as
elv\'egz\'ese.
 
\vskip 2cm
{\bf 12. SPURTALAN\'IT\'AS}\par
\vskip 1cm
 
    Egy tetsz\H{o}leges $T_{i_1i_2...i_n}=T_{(i_1i_2...i_n)}$
szimmetrikus tenzort \'ugy spurtalan\'{\i}thatunk, hogy valamilyen sz\'amszor
hozz\'aadjuk a tenzor t\"obbsz\"or\"os spurjait a megfelel\H{o} sz\'am\'u $h_{ik}$-val
szorozva \'es szimmetriz\'alva. Vagyis~:
$$ \eqalign{\C(T&_{i_1...i_n})_{i_1...i_n}=T_{i_1...i_n}  \cr
+&\sum_{k=1}^{[n/2]} A_k^{(n)}h_{(i_1i_2}h_{i_3i_4}...h_{i_{2k-1}i_{2k}}
       h^{r_1r_2}h^{r_3r_4}...h^{r_{2k-1}r_{2k}}
       T_{r_1...r_{2k}i_{2k+1}...i_n)}         } .      \eqno(12.1)$$
 
    Az $A^{(n)}_k$ konstansokat \'ugy kell megv\'alasztani, hogy az
eredm\'eny val\'oban spurtalan legyen, azaz fenn\'alljon, hogy
  $$\C(T_{i_1...i_n})_{i_1...i_n}h^{i_1i_2}=0       .   \eqno(12.2)$$
Ebb\H{o}l a felt\'etelb\H{o}l h\'aromdimenzi\'os tenzorok eset\'en a k\"ovetkez\H{o}
rekurzi\'os \"osszef\"ugg\'est kaphatjuk~:
$$A^{(n)}_{k+1}=-{(n-2k)(n-2k-1)\over2(k+1)(2n-2k-1)}A^{(n)}_k
                                                   ,    \eqno(12.3)$$
ahol $A^{(n)}_0=1$-et defini\'alhatunk. Ebb\H{o}l $A^{(n)}_m$-et
kifejezve~:
$$A^{(n)}_m={(-1)^mn!\,(2n-2m-1)!!\over2^mm!\,(n-2m)!\,(2n-1)!!}
                                              .         \eqno(12.4)$$
 
   Az eddigiek alapj\'an m\'ar sz\'amolhat\'ok a momentumok, de a k\'epletek
nagy sz\'ama miatt ez neh\'ezs\'egekbe \"utk\"ozhet. Ez\'ert c\'elszer\H{u} az
elj\'ar\'ast tov\'abb egyszer\H{u}s\'{\i}teni.
 
\vskip 2cm
{\bf 13. SZIMMETRIKUS TENZOROK}\par
\vskip 1cm
 
A $ P^{(n)}_{i_1...i_n} $ tenzoroknak $3^n$ komponense van, de a
szimmetria miatt sokkal kevesebb f\"uggetlen komponens megad\'asa
elegend\H{o}. Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'est~:
 $$ P^{(n)}_{a,b,c}=P^{(n)}_{\underbrace{1...1}_a
\underbrace{2...2}_b \underbrace{3...3}_c}  ,             \eqno(13.1)$$
ahol $a+b+c=n .$ Ezek meghat\'arozz\'ak a $ P^{(n)}_{i_1...i_n} $
tenzort, \'es sz\'amuk~:
  $$ \sum_{a=0}^n (n-a+1) = {1\over 2}(n+1)(n+2)  .       \eqno(13.2)$$
 
A kovari\'ans deriv\'al\'ashoz sz\"uks\'eges Christoffel szimb\'olumok alakj\'at
behelyettes\'{\i}tve a $P^{(n)}_{i_1...i_n}$ tenzorok (5.1) rekurzi\'os
defin\'{\i}ci\'oj\'aba, \'es felhaszn\'alva, hogy minden csak $\r$-t\'ol \'es
$z$-t\H{o}l f\"ugg, $P^{(n)}_{a,b,c}$-re a k\"ovetkez\H{o} rekurzi\'os
\"osszef\"ugg\'est kapjuk:
 $$ \eqalign{ P&^{(n)}_{a,b,c}={1 \over n}\C\biggl\{a{\d\over \d\r}
  P^{(n-1)}_{a-1,b,c}+b{\d\over \d z}P^{(n-1)}_{a,b-1,c} \cr
  &-\Bigl[(a(a-1)+2ab)\g_{,1}+2ac{1\over \r}\Bigr]
    P^{(n-1)}_{a-1,b,c}
  -\Bigl[2ab+b(b-1)\Bigr]\g_{,2} P^{(n-1)}_{a,b-1,c} \cr
  &+a(a-1)\g_{,2} P^{(n-1)}_{a-2,b+1,c}
  +b(b-1)\g_{,1} P^{(n-1)}_{a+1,b-2,c}          \cr
  &+c(c-1)\r e^{-2\g} P^{(n-1)}_{a+1,b,c-2}
  -\Bigl(n-{3\over 2}\Bigr)\Bigl[ a(a-1)\~R_{11} P^{(n-2)}_{a-2,b,c}\cr
  &+2ab \~R_{12} P^{(n-2)}_{a-1,b-1,c}
  +b(b-1) \~R_{22} P^{(n-2)}_{a,b-2,c}\Bigr]\biggr\} . }   \eqno(13.3)$$
Itt $\C$ m\'ar csak a spurtalan\'{\i}t\'ast jelenti, amit elv\'egezhetn\'enk a
(12.1) \'es a (12.4) k\'epletek alapj\'an, \'eszrev\'eve, hogy csak az olyan
tagokra van sz\"uks\'eg, amelyben $A^{(n)}_1$ vagy $A^{(n)}_2$ szerepel.
Tal\'altam egy m\'odszert, amellyel a spurtalan\'{\i}t\'as egyszer\H{u}bb,
a fell\'ep\H{o} k\'epletek sz\'ama is kevesebb, \'es az $e^{-2\g}$ tag sem fordul
el\H{o}.
 
\vfill\eject\noindent
{\bf 14. OLYAN TENZOROK BEVEZET\'ESE, AMELYEKNEK A}\par
{\bf H\'ARMAS INDEX\H{u} KOMPONENSEIK NULL\'AK}\par
\vskip 1cm
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy a spurtalan $P^{(n)}_{i_1...i_n}$ tenzorra akkor is
a helyes \'ert\'eket kapjuk, ha $P^{(k)}_{i_1...i_k}$ helyett a
  $$ P^{(k)}_{i_1...i_k}+
     h_{(i_1i_2} Q^{(k-2)}_{i_3...i_k)} ,                \eqno(14.1)$$
tenzorokb\'ol sz\'amoljuk ki az (5.1) rekurz\'{\i}v defin\'{\i}ci\'ojuk seg\'{\i}ts\'eg\'evel,
ahol $k<n$ , \'es $Q^{(k-2)}_{i_3...i_k}$ tetsz\H{o}leges szimmetrikus
tenzor.
Ez az\'ert van \'{\i}gy, mert $P^{(n)}_{i_1...i_n}$ sz\'amol\'asakor csak olyan
j\'arul\'ekos tagokat kapunk, amelyeknek a spurmentes r\'eszei null\'ak.
A spurtalan\'{\i}t\'ast is ilyen tenzor hozz\'aad\'as\'aval lehet elv\'egezni, ez\'ert
ha $k<n$ eset\'en elhagyjuk a spurtalan\'{\i}t\'ast, $P^{(n)}_{i_1...i_n}$-re
tov\'abbra is a helyes \'ert\'eket kapjuk.
 
   Defini\'aljuk az  $S^{(n)}_{a,b,c}$ tenzort (13.3)-hoz hasonl\'oan,
azzal az elt\'er\'essel, hogy $S$ hely\'ere mindenhol $P$-t \'{\i}runk,
hozz\'aadunk $h_{(i_1i_2} Q^{(n-2)}_{i_3...i_n)}$~-t a jobb\-ol\-dalon, \'es
elhagyjuk a spurtalan\'{\i}t\'as $\C$ oper\'ator\'at, azaz legyen
\vfill\eject\noindent
 $$ \eqalign{ S&^{(0)}_{0,0,0}=P^{(0)}_{0,0,0} \quad , \qquad
   S^{(1)}_{a,b,c}=P^{(1)}_{a,b,c}  , \cr
  S&^{(n)}_{a,b,c}={1 \over n}\biggl\{a{\d\over \d\r}
  S^{(n-1)}_{a-1,b,c}+b{\d\over \d z}S^{(n-1)}_{a,b-1,c}  \cr
  &-\Bigl[(a(a-1)+2ab)\g_{,1}+2ac{1\over \r}\Bigr]
    S^{(n-1)}_{a-1,b,c}
  -\Bigl[2ab+b(b-1)\Bigr]\g_{,2} S^{(n-1)}_{a,b-1,c} \cr
  &+a(a-1)\g_{,2} S^{(n-1)}_{a-2,b+1,c}
  +b(b-1)\g_{,1} S^{(n-1)}_{a+1,b-2,c}         \cr
  &+c(c-1)\r e^{-2\g} S^{(n-1)}_{a+1,b,c-2}
  -\Bigl(n-{3\over 2}\Bigr)\Bigl[ a(a-1)\~R_{11} S^{(n-2)}_{a-2,b,c}\cr
  &+2ab \~R_{12} S^{(n-2)}_{a-1,b-1,c}
  +b(b-1) \~R_{22} S^{(n-2)}_{a,b-2,c}\Bigr]\biggr\} \cr
  &+\Bigl( h_{(i_1i_2} Q^{(n-2)}_{i_3...i_n)}\Bigr)^{(n)}_{abc}
                                                  . }   \eqno(14.2)$$
Ekkor~:
  $$ P^{(n)}_{a,b,c}=\C \bigl( S^{(n)}_{a,b,c}
   \bigr)^{(n)}_{a,b,c}  .                              \eqno(14.3)$$
 
Legyen
 $$ Q^{(n)}_{a,b,c}=Q^{(n)}_{\underbrace{1...1}_a
\underbrace{2...2}_b \underbrace{3...3}_c}         ,      \eqno(14.4)$$
ahol $a+b+c=n .$
 
   Megmutatjuk, hogy a $ Q^{(k-2)}_{i_3...i_k} $ tenzorok megv\'alaszthat\'ok
\'ugy, hogy $S^{(n)}_{a,b,c}=0$ fenn\'alljon, ha $c \neq 0 .$
Ez nyilv\'anval\'oan igaz $n=0$-ra \'es $n=1$-re, ugyanis ha $n=0,$ akkor $c$
is csak nulla lehet, \'es
 $S^{(1)}_{0,0,1}=P^{(1)}_{0,0,1}={\d\over\d\f}\X=0.$
Tegy\"uk fel, hogy siker\"ult ezt el\'erni $k<n$-re.
$Q^{(n)}_{a,b,c}$-t \'ugy kell megv\'alasztani, hogy $Q^{(n)}_{a,b,c}=0$
legyen ha $c\neq 0 ,$ mert k\"ul\"onben $h_{33}$-al szorozva \'ujabb h\'armas
indexeket hozna be. Ekkor $S^{(n)}_{a,b,c}$ csak $c=0$ vagy $c=2$
eset\'en lehet null\'at\'ol k\"ul\"onb\"oz\H{o}. Fel\'{\i}rva a $S^{(n)}_{a,b,2}=0$
felt\'etelt, kapjuk hogy~:
 $$ Q^{(n-2)}_{a,b,0}={n-1 \over \r} e^{-2\g}
    S^{(n-1)}_{a+1,b,0} .                                \eqno(14.5)$$
Bel\'attuk, hogy a $ Q^{(k-2)}_{i_3...i_k} $ tenzorok megv\'alaszthat\'ok
\'ugy, hogy $S^{(n)}_{a,b,c}=0$ ha $c \neq 0 .$
 
   Legyen
  $$ S^{(n)}_a=S^{(n)}_{a,b,0} .                         \eqno(14.6)$$
Az $S^{(n)}_{a,b,c}$ tenzorok (14.2) rekurzi\'os defin\'{\i}ci\'oja a
k\"ovetkez\H{o} alak\'u lesz~:
  $$\eqalign{ S^{(0)}_0&=\X \quad , \quad S^{(1)}_0={\d \over \d z}
   S^{(0)}_0 \quad ,\quad S^{(1)}_1={\d \over \d\r} S^{(0)}_0 , \cr
  S&^{(n)}_a={1 \over n}\biggl\{a{\d\over \d\r}
  S^{(n-1)}_{a-1}+(n-a){\d\over \d z}S^{(n-1)}_a        \cr
  &+a\Bigl[(a+1-2n)\g_{,1}-{a-1\over\r}\Bigr]S^{(n-1)}_{a-1}
  +(a-n)(a+n-1)\g_{,2}S^{(n-1)}_a             \cr
  &+a(a-1)\g_{,2} S^{(n-1)}_{a-2}
  +(n-a)(n-a-1)(\g_{,1}-{1\over\r}) S^{(n-1)}_{a+1}          \cr
  &-\Bigl(n-{3\over 2}\Bigr)\Bigl[ a(a-1)\~R_{11} S^{(n-2)}_{a-2}
  \qquad+2a(n-a)\~R_{12} S^{(n-2)}_{a-1}           \cr
  &+(n-a)(n-a-1)\~R_{22} S^{(n-2)}_a\Bigr]\biggr\} . }     \eqno(14.7)$$
 
 
A $P$ tenzorokat a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen kaphatjuk~:
 $$ P^{(n)}_{a,b,c}=\C \Bigl( S^{(n)}_a \Bigr)^{(n)}_{a,b,c}
                                                        , \eqno(14.8)$$
ahol $\C$ m\'ar csak a spurtalan\'{\i}t\'ast jel\"oli.
 
Adott $n$-re $S^{(n)}_a$ csak $n+1$ komponensb\H{o}l \'all, teh\'at tov\'abb
siker\"ult cs\"okkenteni a sz\'amol\'askor megjelen\H{o} k\'epletek sz\'am\'at.
 
   Zavar\'onak l\'atszanak az ${1\over\r}$-t tartalmaz\'o tagok a (14.7)
indukci\'os k\'ep\-le\-tekben. Bel\'atjuk, hogy m\'egsem jelennek meg $\r$
negat\'{\i}v kitev\H{o}j\H{u} hatv\'anyai a sorfejt\'esekben.
Legyen  $\~R_{11}=\r^2\~R'_{11},$
$\~R_{12}=\r \~R'_{12},$ $\~R_{22}=\~R'_{22},$  $\g_{,1}=\r\g'_{,1},$
\'es  $\g_{,2}=\r^2\g'_{,2}.$ Ekkor (10.5) \'es (10.6)-b\'ol k\"ovetkezik,
hogy $\~R'_{11},$  $\~R'_{12},$ $\~R'_{22},$  $\g'_{,1},$  \'es
$\g'_{,2} $ mindannyian $\r^2$ \'es $z$ hatv\'anysorak\'ent \'{\i}rhat\'ok fel,
\'ugy, hogy $\r$ negat\'{\i}v kitev\H{o}j\H{u} hatv\'anyai nem jelennek meg.
Legyen
 $$ S^{(n)}_a=\r^a Z^{(n)}_a .                           \eqno(14.9)$$
Ekkor (14.7) alapj\'an fel\'{\i}rhat\'ok $Z^{(n)}_a$ indukci\'os \"osszef\"ugg\'esei~:
  $$\eqalign{ Z^{(0)}_0=\X \quad ,& \quad Z^{(1)}_0={\d \over \d z}
  Z^{(0)}_0 \quad ,\quad Z^{(1)}_1={\d \over \d\r} Z^{(0)}_0 , \cr
  Z^{(n)}_a={1 \over n}\biggl\{a{1\over\r}&{\d\over \d\r}
  Z^{(n-1)}_{a-1}+(n-a){\d\over \d z}Z^{(n-1)}_a
  +a(a+1-2n)\g'_{,1}Z^{(n-1)}_{a-1}     \cr
  &+(a-n)(a+n-1)\g'_{,2}\r^2Z^{(n-1)}_a
  +a(a-1)\g'_{,2} Z^{(n-1)}_{a-2}                        \cr
  &+(n-a)(n-a-1)(\r^2\g'_{,1}-1) Z^{(n-1)}_{a+1}          \cr
  &-\Bigl(n-{3\over 2}\Bigr)\Bigl[ a(a-1)\~R'_{11} Z^{(n-2)}_{a-2}
  +2a(n-a) \~R'_{12} Z^{(n-2)}_{a-1}                    \cr
  &\qquad+(n-a)(n-a-1) \~R'_{22} Z^{(n-2)}_a\Bigr]\biggr\}
                                                   .   }\eqno(14.10)$$
K\"onnyen ellen\H{o}rizhet\H{o}, hogy ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy  $Z^{(n)}_a$
$\r^2$ \'es $z$ pozit\'{\i}v kitev\H{o}j\H{u} hatv\'anysorak\'ent \'{\i}rhat\'o fel.
 
\vfill\eject\noindent
{\bf 15. A SPURTALAN\'IT\'AS ELV\'EGZ\'ESE}\par
\vskip 1cm
 
    Ha az $S^{(n)}_{a,b,c}$ mennyis\'egeket m\'ar kisz\'amoltuk, akkor a
$P^{(n)}_{a,b,c}$ tenzormez\H{o}k kisz\'amol\'asa (14.8) alapj\'an nagyon
bonyolult lehet, mert a spurtalan\'{\i}t\'as (12.1) \'es (12.4) k\'epleteiben az
az \"osszes lehets\'eges $A^{(n)}_k$-ra sz\"uks\'eg van a spurtalan\'{\i}t\'ashoz.
Ezen seg\'{\i}t, hogy a $ P^{(n)}_{i_1...i_n} $ tenzormez\H{o}k \'ert\'ek\'ere
csak a $\L$ pontban van sz\"uks\'eg.
$S^{(n)}_{a,b,c}=0$ ha $c \neq 0 ,$ \'{\i}gy a spurmentes r\'esz sz\'amol\'asakor
nem jelenik meg $h^{33} ,$ ami szingul\'aris a $\L$ pontban.
Ez\'ert $S^{(n)}_a \I$ spurmentes r\'esze a helyes \'ert\'eket adja
$P^{(n)}_{a,b,c}\I,$-re, azaz~:
 $$ P^{(n)}_{a,b,c}\I=\C\Bigl( S^{(n)}_a \I
 \Bigr)^{(n)}_{a,b,c} .                                  \eqno(15.1)$$
(14.9) felhaszn\'al\'as\'aval l\'athat\'o, hogy $ S^{(n)}_a \I =0 $ ha $a \neq 0 .$
A skal\'ar momentumok kisz\'amol\'as\'ahoz (9.2) alapj\'an csak
$ P^{(n)}_{2...2}\I$-re van sz\"uks\'eg. Teh\'at egy olyan
$ S^{(n)}_{i_1...i_n} $ tenzort kell spurtalan\'{\i}tani, amelyre csak
$ S^{(n)}_{2...2} \neq 0 ,$ \'es az eredm\'enynek csak a 2...2 komponens\'ere
van sz\"uks\'eg. Felhaszn\'alva, hogy a $\L$ pontban $h_{22}=h^{22}=1 ,$
a spurtalan\'{\i}t\'as (12.1) \'es (12.4) k\'epletei alapj\'an~:
$$ \eqalign{\C(S_{i_1...i_n})_{22...2}&=S_{22...2}+S_{22...2}
                            \sum_{m=1}^{[n/2]} A_m^{(n)}    \cr
&={S_{2...2}\,n!\over(2n-1)!!}\sum_{m=0}^{[n/2]}
            {(-1)^m(2n-2m-1)!!\over2^mm!\,(n-2m)!}
 ={S_{2...2}\,n!\over(2n-1)!!}  .  }                      \eqno(15.2)$$
\'Igy a skal\'ar momentumok (9.2) \'es (15.1) alapj\'an~:
  $$ P_n = {1\over (2n-1)!!} S^{(n)}_0 \I.                 \eqno(15.3)$$
 
\vskip 2cm
{\bf 16. AZ ALGORITMUS \"OSSZEFOGLAL\'ASA}\par
\vskip 1cm
 
   Az eddigiekben \'attekintett\"uk a momentumok kisz\'amol\'as\'ahoz sz\"uks\'eges
algoritmus \"osszes l\'ep\'es\'et. Ha az $m.$ momentumig akarunk elmenni a
sz\'amol\'assal, akkor a k\"ovetkez\H{o} l\'ep\'eseket kell v\'egrehajtani~:
 
\item{$1^\circ$]} $\X$ (11.1) sorfejt\'es\'eben az egy\"utthat\'ok meghat\'aroz\'asa
a (11.3) \"osz\-szef\"ugg\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel, vagyis az olyan $a_{ij}$ egy\"utthat\'ok
kifejez\'ese az $m_i$ konstansokkal, amelyekre $i+j\leq m.$
 
\item{$2^\circ$]} (10.5) \'es (10.6) alapj\'an sz\'amolhat\'ok az $\~R_{ij}$
Ricci-tenzor komponensei, \'es a $\g_{,i}$ deriv\'altak, $\r$ \'es $z$-nek az
$m-2$-ed rend\H{u} polinomjaik\'ent. (Az\'ert az $m-2$-ed rendig, mert
el\H{o}sz\"or a m\'asodik momentum sz\'amol\'asakor fordulnak el\H{o}.)
 
\item{$3^\circ$]} $S^{(0)}_0=\X ,$
$S^{(1)}_0={\d\over\d z}S^{(0)}_0$
\'es $ S^{(1)}_1={\d\over\d\r}S^{(0)}_0$ kisz\'amol\'asa,
$S^{(0)}$-n\'al $m$-ed, $S^{(1)}_i$-n\'el $m-1$-ed rend\H{u} polinomk\'ent.
 
\item{$4^\circ$]} A (14.7) rekurzi\'os k\'eplet alapj\'an az $S^{(n)}_a$
mennyis\'egek sz\'amol\'asa $m-n$-ed rend\H{u} polinomokk\'ent. Csak az olyan
$S^{(n)}_a$ mennyis\'egekre van sz\"uks\'eg, amelyekre $a\leq m-n$ \'es $a<n.$
(Ez az\'ert van \'{\i}gy, mert az $S^{(m)}_a$ mennyis\'egek k\"oz\"ul csak
$S^{(m)}_0$-ra van sz\"uks\'eg, az $S^{(m-1)}_a$ mennyis\'egek k\"oz\"ul m\'ar
$S^{(m-1)}_0$ \'es $S^{(m-1)}_1$ is sz\"uks\'eges, \'es \'{\i}gy tov\'abb.)
 
\item{$5^\circ$]} A (15.3) \"osszef\"ugg\'es alapj\'an sz\'amolhat\'ok a $P_n$
momentumok, azaz kifejezhet\H{o}k az $m_i$ konstansok seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
\vskip 2cm
{\bf 17.  SZ\'AMOL\'AS ELV\'EGZ\'ESE}\par
\vskip 1cm
 
   A momentumok sz\'amol\'as\'ahoz k\'esz\'{\i}tettem egy REDUCE [13] nyelven \'{\i}rt
programot. A REDUCE-nak azt a tulajdons\'ag\'at haszn\'altam fel, hogy olyan
polinomokkal tud sz\'amolni, amelyeknek az egy\"utthat\'oik param\'eter alakban
megadott konstansok.
 
    A t\'arig\'eny cs\"okkent\'ese szempontj\'ab\'ol l\'enyeges, hogy minden polinomot
csak olyan pontoss\'agig \H{o}rizz\"unk meg, amennyire az a tov\'abbi
sz\'amol\'asokhoz sz\"uks\'eges. Ez\'ert a sz\'amol\'as sor\'an sokszor el kell hagyni a
polinomokb\'ol olyan tagokat, amelyek konstansszor $\r^iz^j$ alak\'uak,
ahol $i+j>n$ \'es $n$ pozit\'{\i}v eg\'esz. Ez a WEIGHT $\r=1, z=1;$ WTLEVEL $n;$
utas\'{\i}t\'assal \'erhet\H{o} el. Ekkor a REDUCE nem hajt v\'egre $\r$ \'es $z$
szerinti differenci\'al\'ast, ez\'ert a lev\'ag\'ast a CLEAR $\r,z;$ utas\'{\i}t\'assal
ki lehet kapcsolni.
\vfill\eject
   A sz\'amol\'ashoz a KFKI BASF sz\'am\'{\i}t\'og\'ep\'et haszn\'altam. A tizenkettedik
rendig val\'o sz\'amol\'ashoz 4 Mbyte mem\'oria \'es majdnem egy \'ora g\'epid\H{o}
volt sz\"uks\'eges.
\'Ugy tapasztaltuk, hogy ha eggyel magasabb rendig akartunk elmenni a
sz\'amol\'assal, a sz\"uks\'eges g\'epid\H{o} k\"or\"ulbel\"ul a k\'etszeres\'ere n\"ovekedett.
 
    Vezess\"uk be az al\'abbi jel\"ol\'est~:
  $$ M_{ij}=m_im_j-m_{i-1}m_{j+1} ,                      \eqno(17.1)$$
ahol $i>j+1 .$  Az $M_{ik}$ mennyis\'egek k\"oz\"ott az al\'abbi \"osszef\"ugg\'esek
\'allnak fenn~:
$$\eqalign{
   m_c M_{a+3,b+1}&=m_{b+1} M_{a+3,c}-m_{a+2} M_{b+2,c} , \cr
   m_{a+3} M_{b+2,c}&=m_{b+2} M_{a+3,c}-m_{c+1} M_{a+3,b+1}
                                              ,   }      \eqno(17.2)$$
ahol $ a \geq b \geq c .$ Ezeknek seg\'{\i}ts\'eg\'evel a momentumokra kapott
k\'epletekb\H{o}l azok a tagok, amelyekben olyan $m_jM_{ik}$ t\'enyez\H{o}
szerepel, amelyekre $j<k$ vagy $j>i,$ kifejezhet\H{o}k olyan tagokkal,
amelyekben csak olyan $m_jM_{ik}$ szorzat szerepel, amelyre
$i \geq j \geq k .$
 
    A momentumokra kapott k\'epletekben az egyes tagok egy\"utt\-ha\-t\'oit
l\'enyegesen egyszer\H{u}s\'{\i}teni lehet, ha konstans szorz\'ok egy r\'esz\'et
be\-le\-de\-fi\-ni\-\'al\-juk az
$M_{ik}$ mennyis\'egekbe. Ez\'ert az $n.$ momentum k\'eplet\'ebe az
$M_{ik}$ helyett defini\'aljunk egy $S_{ik}$ mennyis\'eget a
k\"ovetkez\H{o}k\'eppen~:
  $$ M_{ik}= { (i-2)!\quad (n-i)!\quad (2n-1)!! \over
       (n-2)!\quad (2i+1)!!\quad (2n-2i-3)!! } S_{ik}   .           \eqno(17.3)$$
A szorz\'o nem f\"ugg a m\'asodik indext\H{o}l, de f\"ugg att\'ol, hogy h\'anyadik
momentumba helyettes\'{\i}tj\"uk be, vagyis a k\"ul\"onb\"oz\H{o} momentumokban
lev\H{o} $S_{ik}$ mennyis\'egek nem egyenl\H{o}ek egym\'assal.
 
Az els\H{o} tizenk\'et momentumra kapott \'ert\'ekek a k\"ovetkez\H{o}k~:
\vskip .5cm\noindent
$P_0 = m_0$
\vskip .5cm\noindent
$P_1 = m_1$
\vskip .5cm\noindent
$P_2 = m_2$
\vskip .5cm\noindent
$P_3 = m_3$
\vskip .5cm\noindent
$P_4 =
   m_4
 - S_{20}m^*_0
$
 
\vskip .5cm\noindent
$P_5 =
   m_5
 - S_{20}m^*_1
 - S_{30}m^*_0
$
 
\vskip .5cm\noindent
$P_{6} =
   m_6
 - S_{20}m^*_2
 +{7\over 5}S_{20}m_0^{*2}m_0
 - S_{30}m^*_1
 - S_{40}m^*_0
 - 2S_{31}m^*_0
$
 
\vskip .5cm\noindent
$P_{7} =
   m_7
 - S_{20}m^*_3
 + 2S_{20}m_1^*m_0^*m_0
 -{9\over 5}S_{20}m_0^{*2}m_1
 - S_{30}m^*_2
 +{9\over 5}S_{30}m_0^{*2}m_0
 - S_{40}m^*_1
 -{44\over 25}S_{31}m^*_1
 - S_{50}m^*_0
 -{38\over 15}S_{41}m^*_0
$
 
\vskip .5cm\noindent
$P_{8} =
   m_8
 - S_{20}m^*_4
 +{38\over 21}S_{20}m_2^*m_0^*m_0
 +{11\over 21}S_{20}m_1^{*2}m_0
 - 2S_{20}m_1^*m_0^*m_1
 - S_{20}m_0^{*3}m_0^2
 - 20S_{20}m_0^{*2}m_2
 - S_{30}m^*_3
 +{18\over 7}S_{30}m_1^*m_0^*m_0
 +{27\over 14}S_{30}m_0^{*2}m_1
 - S_{40}m^*_2
 +{11\over 5}S_{40}m_0^{*2}m_0
 -{23\over 14}S_{31}m^*_2
 - S_{50}m^*_1
 -{34\over 15}S_{41}m^*_1
 - S_{60}m^*_0
 -{11\over 4}S_{51}m^*_0
 - 3S_{42}m^*_0
$
 
\vskip .5cm\noindent
$P_{9} =
   m_9
 - S_{20}m^*_5
 +{20\over 11}S_{20}m_3^*m_0^*m_0
 +{8\over 11}S_{20}m_2^*m_1^*m_0
 -{106\over 77}S_{20}m_2^*m_0^*m_1
 -{41\over 77}S_{20}m_1^{*2}m_1
 -{21\over 11}S_{20}m_1^*m_0^{*2}m_0^2
 -{288\over 11}S_{20}m_1^*m_0^*m_2
 + 2S_{20}m_0^{*3}m_1m_0
 - S_{30}m^*_4
 +{16\over 7}S_{30}m_2^*m_0^*m_0
 +{5\over 7}S_{30}m_1^{*2}m_0
 +{156\over 49}S_{30}m_1^*m_0^*m_1
 -{11\over 7}S_{30}m_0^{*3}m_0^2
 -{1012\over 49}S_{30}m_0^{*2}m_2
 - S_{40}m^*_3
 +{22\over 7}S_{40}m_1^*m_0^*m_0
 +{583\over 147}S_{40}m_0^{*2}m_1
 -{11\over 7}S_{31}m^*_3
 +{748\over 49}S_{31}m_0^{*2}m_1
 - S_{50}m^*_2
 +{13\over 5}S_{50}m_0^{*2}m_0
 -{314\over 147}S_{41}m^*_2
 - S_{60}m^*_1
 -{87\over 35}S_{51}m^*_1
 -{373\over 147}S_{42}m^*_1
 - S_{70}m^*_0
 -{20\over 7}S_{61}m^*_0
 -{148\over 35}S_{52}m^*_0
$
 
\vskip .5cm\noindent
$P_{10} =
   m_{10}
 - S_{20}m^*_6
 +{274\over 143}S_{20}m_4^*m_0^*m_0
 +{262\over 429}S_{20}m_3^*m_1^*m_0
 -{146\over 143}S_{20}m_3^*m_0^*m_1
 +{71\over 429}S_{20}m_2^{*2}m_0
 -{106\over 143}S_{20}m_2^*m_1^*m_1
 -{727\over 429}S_{20}m_2^*m_0^{*2}m_0^2
 -{4930\over 231}S_{20}m_2^*m_0^*m_2
 -{37\over 39}S_{20}m_1^{*2}m_0^*m_0^2
 -{1685\over 231}S_{20}m_1^{*2}m_2
 +{42\over 13}S_{20}m_1^*m_0^{*2}m_1m_0
 +{7\over 13}S_{20}m_0^{*4}m_0^3
 +{252\over 13}S_{20}m_0^{*3}m_2m_0
 -{125\over 13}S_{20}m_0^{*3}m_1^2
 - S_{30}m^*_5
 +{74\over 33}S_{30}m_3^*m_0^*m_0
 +{34\over 33}S_{30}m_2^*m_1^*m_0
 +{101\over 33}S_{30}m_2^*m_0^*m_1
 +{127\over 132}S_{30}m_1^{*2}m_1
 - 3S_{30}m_1^*m_0^{*2}m_0^2
 -{109\over 4}S_{30}m_1^*m_0^*m_2
 -{5\over 4}S_{30}m_0^{*3}m_1m_0
 -{1317\over 56}S_{30}m_0^{*2}m_3
 - S_{40}m^*_4
 +{58\over 21}S_{40}m_2^*m_0^*m_0
 +{19\over 21}S_{40}m_1^{*2}m_0
 +{55\over 9}S_{40}m_1^*m_0^*m_1
 -{143\over 63}S_{40}m_0^{*3}m_0^2
 -{682\over 49}S_{40}m_0^{*2}m_2
 -{67\over 44}S_{31}m^*_4
 +{589\over 28}S_{31}m_1^*m_0^*m_1
 -{33\over 7}S_{31}m_0^{*2}m_2
 - S_{50}m^*_3
 +{26\over 7}S_{50}m_1^*m_0^*m_0
 +{39\over 7}S_{50}m_0^{*2}m_1
 -{37\over 18}S_{41}m^*_3
 +{8833\over 588}S_{41}m_0^{*2}m_1
 - S_{60}m^*_2
 + 3S_{60}m_0^{*2}m_0
 -{33\over 14}S_{51}m^*_2
 -{4063\over 1764}S_{42}m^*_2
 - S_{70}m^*_1
 -{13\over 5}S_{61}m^*_1
 -{713\over 196}S_{52}m^*_1
 - S_{80}m^*_0
 -{35\over 12}S_{71}m^*_0
 -{339\over 70}S_{62}m^*_0
 -{1553\over 392}S_{53}m^*_0
$
 
\vskip .5cm\noindent
$P_{11} =
   m_{11}
 - S_{20}m^*_7
 +{134\over 65}S_{20}m_5^*m_0^*m_0
 +{38\over 65}S_{20}m_4^*m_1^*m_0
 -{10\over 13}S_{20}m_4^*m_0^*m_1
 +{2\over 13}S_{20}m_3^*m_2^*m_0
 -{22\over 39}S_{20}m_3^*m_1^*m_1
 -{23\over 13}S_{20}m_3^*m_0^{*2}m_0^2
 -{1256\over 65}S_{20}m_3^*m_0^*m_2
 -{11\over 39}S_{20}m_2^{*2}m_1
 -{86\over 65}S_{20}m_2^*m_1^*m_0^*m_0^2
 -{52\over 5}S_{20}m_2^*m_1^*m_2
 +{446\over 195}S_{20}m_2^*m_0^{*2}m_1m_0
 -{9\over 65}S_{20}m_1^{*3}m_0^2
 +{62\over 39}S_{20}m_1^{*2}m_0^*m_1m_0
 +{84\over 65}S_{20}m_1^*m_0^{*3}m_0^3
 +{2296\over 65}S_{20}m_1^*m_0^{*2}m_2m_0
 -{1071\over 65}S_{20}m_1^*m_0^{*2}m_1^2
 -{7\over 5}S_{20}m_0^{*4}m_1m_0^2
 +{308\over 5}S_{20}m_0^{*3}m_2m_1
 - S_{30}m^*_6
 +{30\over 13}S_{30}m_4^*m_0^*m_0
 +{34\over 39}S_{30}m_3^*m_1^*m_0
 +{370\over 117}S_{30}m_3^*m_0^*m_1
 +{11\over 39}S_{30}m_2^{*2}m_0
 +{170\over 117}S_{30}m_2^*m_1^*m_1
 -{101\over 39}S_{30}m_2^*m_0^{*2}m_0^2
 -{6038\over 273}S_{30}m_2^*m_0^*m_2
 -{61\over 39}S_{30}m_1^{*2}m_0^*m_0^2
 -{2138\over 273}S_{30}m_1^{*2}m_2
 -{40\over 13}S_{30}m_1^*m_0^{*2}m_1m_0
 -{2824\over 91}S_{30}m_1^*m_0^*m_3
 + S_{30}m_0^{*4}m_0^3
 + 24S_{30}m_0^{*3}m_2m_0
 -{37\over 3}S_{30}m_0^{*3}m_1^2
 - S_{40}m^*_5
 +{8\over 3}S_{40}m_3^*m_0^*m_0
 +{4\over 3}S_{40}m_2^*m_1^*m_0
 +{50\over 9}S_{40}m_2^*m_0^*m_1
 +{17\over 9}S_{40}m_1^{*2}m_1
 - \break
  {13\over 3}S_{40}m_1^*m_0^{*2}m_0^2
 -{3433\over 189}S_{40}m_1^*m_0^*m_2
 -{104\over 27}S_{40}m_0^{*3}m_1m_0
 -{5993\over 189}S_{40}m_0^{*2}m_3
 -{58\over 39}S_{31}m^*_5
 +{14530\over 819}S_{31}m_2^*m_0^*m_1
 +{5021\over 819}S_{31}m_1^{*2}m_1
 - \break
  {536\over 91}S_{31}m_1^*m_0^*m_2
 - 77S_{31}m_0^{*2}m_3
 - S_{50}m^*_4
 +{68\over 21}S_{50}m_2^*m_0^*m_0
 +{23\over 21}S_{50}m_1^{*2}m_0
 +{533\over 63}S_{50}m_1^*m_0^*m_1
 -{65\over 21}S_{50}m_0^{*3}m_0^2
 -{507\over 49}S_{50}m_0^{*2}m_2
 - 2S_{41}m^*_4
 +{7993\over 378}S_{41}m_1^*m_0^*m_1
 +{4927\over 252}S_{41}m_0^{*2}m_2
 - S_{60}m^*_3
 +{30\over 7}S_{60}m_1^*m_0^*m_0
 + 7S_{60}m_0^{*2}m_1
 -{41\over 18}S_{51}m^*_3
 +{27989\over 1764}S_{51}m_0^{*2}m_1
 -{233\over 108}S_{42}m^*_3
 - S_{70}m^*_2
 +{17\over 5}S_{70}m_0^{*2}m_0
 -{52\over 21}S_{61}m^*_2
 -{841\over 252}S_{52}m^*_2
 - S_{80}m^*_1
 -{8\over 3}S_{71}m^*_1
 -{59\over 14}S_{62}m^*_1
 -{119\over 36}S_{53}m^*_1
 - S_{90}m^*_0
 -{62\over 21}S_{81}m^*_0
 -{467\over 90}S_{72}m^*_0
 -{125\over 21}S_{63}m^*_0
$
 
\vskip .5cm\noindent
$P_{12} =
   m_{12}
 - S_{20}m^*_8
 +{38\over 17}S_{20}m_6^*m_0^*m_0
 +{134\over 221}S_{20}m_5^*m_1^*m_0
 - \break
  {626\over 1105}S_{20}m_5^*m_0^*m_1
 +{178\over 2431}S_{20}m_4^*m_2^*m_0
 -{482\over 1105}S_{20}m_4^*m_1^*m_1
 -{285\over 143}S_{20}m_4^*m_0^{*2}m_0^2
 -{225084\over 12155}S_{20}m_4^*m_0^*m_2
 -{79\over 2431}S_{20}m_3^{*2}m_0
 -{106\over 221}S_{20}m_3^*m_2^*m_1
 -{2826\over 2431}S_{20}m_3^*m_1^*m_0^*m_0^2
 -{9404\over 1105}S_{20}m_3^*m_1^*m_2
 +{4374\over 2431}S_{20}m_3^*m_0^{*2}m_1m_0
 -{717\over 2431}S_{20}m_2^{*2}m_0^*m_0^2
 -{38762\over 12155}S_{20}m_2^{*2}m_2
 -{621\over 2431}S_{20}m_2^*m_1^{*2}m_0^2
 +{26124\over 12155}S_{20}m_2^*m_1^*m_0^*m_1m_0
 +{2796\over 2431}S_{20}m_2^*m_0^{*3}m_0^3
 +{2421943\over 85085}S_{20}m_2^*m_0^{*2}m_2m_0
 -{160349\over 12155}S_{20}m_2^*m_0^{*2}m_1^2
 +{2826\over 12155}S_{20}m_1^{*3}m_1m_0
 +{2286\over 2431}S_{20}m_1^{*2}m_0^{*2}m_0^3
 +{1584983\over 85085}S_{20}m_1^{*2}m_0^*m_2m_0
 -{96061\over 12155}S_{20}m_1^{*2}m_0^*m_1^2
 -{252\over 85}S_{20}m_1^*m_0^{*3}m_1m_0^2
 +{588\over 5}S_{20}m_1^*m_0^{*2}m_2m_1
 -{21\over 85}S_{20}m_0^{*5}m_0^4
 -{1176\over 85}S_{20}m_0^{*4}m_2m_0^2
 +{504\over 85}S_{20}m_0^{*4}m_1^2m_0
 -{672\over 17}S_{20}m_0^{*3}m_2^2
 - S_{30}m^*_7
 +{158\over 65}S_{30}m_5^*m_0^*m_0
 +{586\over 715}S_{30}m_4^*m_1^*m_0
 +{483\over 143}S_{30}m_4^*m_0^*m_1
 +{50\over 143}S_{30}m_3^*m_2^*m_0
 +{417\over 325}S_{30}m_3^*m_1^*m_1
 -{1857\over 715}S_{30}m_3^*m_0^{*2}m_0^2
 -{70877\over 3575}S_{30}m_3^*m_0^*m_2
 +{2811\over 7150}S_{30}m_2^{*2}m_1
 -{1602\over 715}S_{30}m_2^*m_1^*m_0^*m_0^2
 -{40597\over 3575}S_{30}m_2^*m_1^*m_2
 -{22281\over 7150}S_{30}m_2^*m_0^{*2}m_1m_0
 -{178687\over 7150}S_{30}m_2^*m_0^*m_3
 -{171\over 715}S_{30}m_1^{*3}m_0^2
 -{13161\over 7150}S_{30}m_1^{*2}m_0^*m_1m_0
 -{453113\over 50050}S_{30}m_1^{*2}m_3
 +{12\over 5}S_{30}m_1^*m_0^{*3}m_0^3
 +{1098\over 25}S_{30}m_1^*m_0^{*2}m_2m_0
 -{576\over 25}S_{30}m_1^*m_0^{*2}m_1^2
 +{33\over 50}S_{30}m_0^{*4}m_1m_0^2
 +{749\over 25}S_{30}m_0^{*3}m_3m_0
 +{403\over 5}S_{30}m_0^{*3}m_2m_1
 - S_{40}m^*_6
 +{386\over 143}S_{40}m_4^*m_0^*m_0
 +{162\over 143}S_{40}m_3^*m_1^*m_0
 +{11722\over 2145}S_{40}m_3^*m_0^*m_1
 + \break
  {57\over 143}S_{40}m_2^{*2}m_0
 +{2062\over 715}S_{40}m_2^*m_1^*m_1
 -{525\over 143}S_{40}m_2^*m_0^{*2}m_0^2
 -{1962203\over 135135}S_{40}m_2^*m_0^*m_2
 -{333\over 143}S_{40}m_1^{*2}m_0^*m_0^2
 -{712249\over 135135}S_{40}m_1^{*2}m_2
 -{124\over 15}S_{40}m_1^*m_0^{*2}m_1m_0
 - \break
  {39944\over 945}S_{40}m_1^*m_0^*m_3
 +{5\over 3}S_{40}m_0^{*4}m_0^3
 +{2552\over 135}S_{40}m_0^{*3}m_2m_0
 -{478\over 27}S_{40}m_0^{*3}m_1^2
 -{3956\over 135}S_{40}m_0^{*2}m_4
 -{73\over 50}S_{31}m^*_6
 +{11784\over 715}S_{31}m_3^*m_0^*m_1
 +{6432\over 715}S_{31}m_2^*m_1^*m_1
 -{2823\over 650}S_{31}m_2^*m_0^*m_2
 -{8079\over 4550}S_{31}m_1^{*2}m_2
 -{2586\over 25}S_{31}m_1^*m_0^*m_3
 -{177\over 5}S_{31}m_0^{*3}m_1^2
 - S_{50}m^*_5
 +{34\over 11}S_{50}m_3^*m_0^*m_0
 +{18\over 11}S_{50}m_2^*m_1^*m_0
 +{831\over 110}S_{50}m_2^*m_0^*m_1
 + \break
  {587\over 220}S_{50}m_1^{*2}m_1
 -{65\over 11}S_{50}m_1^*m_0^{*2}m_0^2
 -{45656\over 3465}S_{50}m_1^*m_0^*m_2
 -{871\over 132}S_{50}m_0^{*3}m_1m_0
 -{1079\over 45}S_{50}m_0^{*2}m_3
 -{382\over 195}S_{41}m^*_5
 +{220741\over 12285}S_{41}m_2^*m_0^*m_1
 +{78461\over 12285}S_{41}m_1^{*2}m_1
 +{26252\over 945}S_{41}m_1^*m_0^*m_2
 -{3364\over 45}S_{41}m_0^{*2}m_3
 - S_{60}m^*_4
 +{26\over 7}S_{60}m_2^*m_0^*m_0
 + \break
  {9\over 7}S_{60}m_1^{*2}m_0
 +{74\over 7}S_{60}m_1^*m_0^*m_1
 -{85\over 21}S_{60}m_0^{*3}m_0^2
 -{506\over 63}S_{60}m_0^{*2}m_2
 -{489\over 220}S_{51}m^*_4
 +{156559\over 6930}S_{51}m_1^*m_0^*m_1
 +{21619\over 990}S_{51}m_0^{*2}m_2
 -{401\over 195}S_{42}m^*_4
 +{548\over 9}S_{42}m_0^{*2}m_2
 - S_{70}m^*_3
 +{34\over 7}S_{70}m_1^*m_0^*m_0
 +{1751\over 210}S_{70}m_0^{*2}m_1
 -{12\over 5}S_{61}m^*_3
 +{5392\over 315}S_{61}m_0^{*2}m_1
 -{1039\over 330}S_{52}m^*_3
 - S_{80}m^*_2
 +{19\over 5}S_{80}m_0^{*2}m_0
 -{107\over 42}S_{71}m^*_2
 -{409\over 105}S_{62}m^*_2
 -{5867\over 1980}S_{53}m^*_2
 - S_{90}m^*_1
 -{474\over 175}S_{81}m^*_1
 -{478\over 105}S_{72}m^*_1
 -{1588\over 315}S_{63}m^*_1
 - S_{100}m^*_0
 -{119\over 40}S_{91}m^*_0
 -{27\over 5}S_{82}m^*_0
 -{1487\over 210}S_{73}m^*_0
 -{439\over 90}S_{64}m^*_0
$
 
Sajnos nem siker\"ult a k\'epletek alapj\'an egyszer\H{u} \'altal\'anos formul\'at
tal\'alni a momentumokra.
A Kerr-metrik\'ara $M_{ik}=0$.
 
   Mi\'ert hasznosak a momentumokra kapott k\'epletek?
 
(I) Tetsz\H{o}leges tengelyszimmetrikus, stacion\'arius \'es aszimptotikusan
s\'{\i}k t\'erid\H{o}nek ki tudjuk sz\'amolni a momentumait, ha ki tudjuk sz\'amolni
$\X$-nek a szimmetriatengelyen val\'o sorfejt\'esi egy\"utthat\'oit.
 
(II) Pr\'ob\'alhatunk olyan t\'eregyenletmegold\'asokat keresni, amelyekre csak
az els\H{o} $n$ momentum nem nulla. Ezzel \'ugy kis\'erletezhet\"unk, hogy az
$n$-n\'el magasabb rend\H{u} momentumokra kapott kifejez\'eseket null\'aval
tessz\"uk egyenl\H{o}v\'e, \'es a kapott egyenleteket pr\'ob\'aljuk megoldani a
sorfejt\'esi egy\"utthat\'okra.
 
\vskip 2cm
{\bf 18.  A MOMENTUMOK TRANSZFORM\'ACI\'OJA}\par
\vskip 1cm
 
      Meg lehet pr\'ob\'alkozni azzal, hogy m\'as $\O$ v\'alaszt\'assal esetleg
egyszer\H{u}bb kifejez\'eseket kapunk a momentumokra. Ehhez nem sz\"uks\'eges
az eg\'esz sz\'amol\'ast \'ujrakezdeni, mert a $P^{(n)}_{i_1...i_n}$
tenzormez\H{o}k (6.1) transzform\'al\'od\'asi szab\'alya felhaszn\'al\'as\'aval
kisz\'amolhatjuk a $P_n$ skal\'ar momentumok transzform\'al\'od\'asi k\'eplet\'et.
 
    A skal\'armomentumok (9.2) alakj\'aba be\'{\i}rva a (6.1) transzform\'al\'od\'asi
k\'epletet~:
  $$\B P_n = {1\over n!}\sum ^n_{k=0} \left(\matrix{n\cr k}  \right)
   {(2n-1)!!\over (2k-1)!!} (-2)^{k-n} \C \Bigl[ \bigl(
   P^{(k)}_{i_1...i_k} \D_{i_{k+1}} \o ... \D_{i_n} \o
   \bigr)^{(n)}_{2...2} \Bigr]_\L                       \eqno(18.1)$$
Felhaszn\'alva, hogy
  $$P^{(k)}_{i_1...i_k} = \C \bigl(S^{(k)}_{i_1...i_k}\bigr) ,
                                                        \eqno(18.2)$$
a $P$ tenzor hely\'ebe az $S$ tenzor \'{\i}rhat\'o. Az $S^{(k)}_{i_1...i_k}$
tenzort \'ugy defini\'altuk, hogy nincs h\'armas index\H{u} komponense, \'es
a tengelyszimmetria miatt az $\o$ f\"uggv\'eny deriv\'altj\'anak sincs
forg\'as ir\'any\'u, azaz h\'armas index\H{u} komponense. Ez\'ert a sputalan\'{\i}t\'as
(12.1) k\'eplet\'eben nem fordul el\H{o} $h^{33},$ ami szingul\'aris a $\L$
pontban, \'es \'{\i}gy a spurtalan\'{\i}t\'ast fel lehet cser\'elni a $\L$ pontba
tart\'assal. Az $S^{(k)}_{i_1...i_k}$ tenzornak a szimmetriatengelyen
csak a csupa kettes index\H{u} komponense nem nulla, \'es a szimmetria
\'es a deriv\'alhat\'os\'ag miatt a tengelyen az $\o$ deriv\'altj\'anak is csak
a kettes komponense lehet null\'at\'ol k\"ul\"onb\"oz\H{o}.
Ez\'ert egy olyan $n$ indexes tenzort kell spurtalan\'{\i}tanunk, amelynek
csak a csupa kettes index\H{u} komponense nem nulla, \'es az eredm\'enynek is
csak a csupa kettes index\H{u} komponens\'ere van sz\"uks\'eg.  Ezt a (15.2)
k\'eplet alapj\'an \'ugy kell elv\'egezni, hogy az egyetlen nem nulla komponenst
szorozzuk ${n!\over(2n-1)!!}$ -al. $S^{(k)}_{i_1...i_k}$ kisz\'amol\'as\'ara
haszn\'aljuk m\'eg fel a (15.3) \"osszef\"ugg\'est, \'{\i}gy a skal\'ar momentumok
transzform\'al\'od\'asi szab\'alya a k\"ovetkez\H{o} alakba \'{\i}rhat\'o~:
  $$\B P_n = \sum ^n_{k=0} \left(\matrix{n\cr k}  \right)
   \biggl({-\D_2\o\over 2}\biggr)^{k-n}_\L P_k          \eqno(18.3)$$
 
    Klasszikus esetben, ha a rendszer t\"omegk\"oz\'eppontj\'ara
vonatkoztatva sz\'amoljuk
a multip\'olusmomentumokat, a dip\'olusmomentumra null\'at kapunk.
Mivel g\"orb\"ult t\'erben a momentumok komplexek, ez nem tehet\H{o} meg,
de alkalmasan v\'alasztva $D_2\o$-t el\'erhet\H{o}, hogy a dip\'olusmomentum
val\'os r\'esze nulla legyen. Ez az\'ert is jelent\H{o}s, mert \'{\i}gy a
momentumok \'ert\'ek\'et f\"uggetlenn\'e tehetj\"uk $\O$ v\'alaszt\'as\'at\'ol.
 
    Nyilv\'an csak val\'os $\o$-nak van fizikai jelent\'ese, de
komplex transzform\'aci\'oval is pr\'ob\'alhatjuk  egyszer\H{u}bb\'e tenni a
k\'epleteket. Hansen [2] kisz\'amolta a Kerr megold\'as momentumait,
$P_n=m(ia)^n.$  $\D_2\o=2ia$ v\'alaszt\'asn\'al a transzform\'alt momentumok
k\"oz\"ul csak a nulladik momentum nem t\H{u}nik el, $\B P_0=m,$ azaz a
Schwarzschild-t\'erid\H{o} momentumait kapjuk.
M\'as terekn\'el is pr\'ob\'alkozhatunk azzal, hogy  komplex $\B\O=\o\O$
v\'alaszt\'assal egyszer\H{u}bb alakba \'{\i}rhat\'ok-e a momentumok. Ha igen,
akkor a momentumokat az egyszer\H{u}bb t\'er momentumaib\'ol a (18.3)
k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel kaphatjuk.
 
\vskip 2cm
{\bf K\"OSZ\"ONETNYILV\'AN\'IT\'AS}
\vskip 1cm
 
      K\"osz\"onetet mondok Perj\'es Zolt\'annak, hogy el\-v\'al\-lal\-ta
a t\'e\-ma\-ve\-ze\-t\'e\-se\-met. \H{o} aj\'anlotta a gravit\'aci\'os
multip\'olusmomentumok t\'emak\"or\'et diplomamunk\'anak. Munk\'amat nagy
figyelemmel kis\'erte, \'es rengeteg hasznos seg\'{\i}ts\'eget ny\'ujtott a
dolgozat elk\'esz\'{\i}t\'ese sor\'an.
 
\vfill\eject\noindent
{\bf IRODALOM}
\vskip 1cm
 
\item{[1]} R. Geroch, J. Math. Phys. 11, 2580 (1970) I-II.
\item{[2]} R. O. Hansen, J. Math. Phys. 15, 46 (1974)
\item{[3]} C. Hoenselaers a {\it Gravitational Collapse and Relativity},
           c\'{\i}m\H{u} k\"otetben, szer\-keszt\H{o}k: H. Sato \'es T. Nakamura,
           World Scientific (1986)
\item{[4]} W. Simon and R. Beig, J. Math. Phys. 24, 1163 (1983),
           F. J. Ernst a {\it Solutions of Einstein's Equations,
           Techniques and Results} c\'{\i}m\H{u} k\"otetben, szer\-keszt\H{o}k:
           C. Hoenselaers \'es W. Dietz, Springer, Heidelberg (1984)
\item{[5]} R. Beig, Acta Phys. Austriaca 53, 249 (1981)
\item{[6]} R. Geroch, J. Math. Phys. 12, 918 (1971)
\item{[7]} S. W. Hawking, G. F. R. Ellis : {\it The Large Scale
            Structure of Space Time} , Cambridge (1973)
\item{[8]} R. Penrose, Proc. Roy. Soc. (London), A284, 159 (1965)
\item{[9]} F. J. Ernst, Phys. Rev. 167, 1175 (1968)
\item{[10]} Perj\'es Zolt\'an, {\it Stacion\'arius gravit\'aci\'os terek
            tulajdons\'agai}, Magyar Fizikai Foly\'oirat (1976)
\item{[11]} C. Hoenselaers, Prog. Theor. Phys. 56, 324 (1976)
\item{[12]} B. Singer, Diplomarbeit, Universit\"at W\"urzburg (1985)
\item{[13]} A. Hearn; Reduce user's manual, the Rank Co., Santa Monica,
           (1983)
\end
\item{[12]} We are indebted to J. R\'evai for evaluating the sum
     in (A4)
